【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC=6,BC=4,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,且AD=AE=1,連接DE、CD,點(diǎn)M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點(diǎn),連接MP、PN、MN.
(1)求證:△PMN是等腰三角形;
(2)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D、E分別在邊AC兩側(cè)時(shí),求證:△PMN是等腰三角形;
②當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到第一次點(diǎn)D、E、C在一條直線上時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)BD的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②.
【解析】
(1)利用三角形的中位線得出PM=CE,PN=BD,進(jìn)而判斷出BD=CE,即可得出結(jié)論PM=PN;
(2)①先證明△ABD≌△ACE,得BD=CE,同理根據(jù)三角形中位線定理可得結(jié)論;
②如圖4,連接AM,計(jì)算AN和DE、EM的長(zhǎng),如圖3,證明△ABD≌△CAE,得BD=CE,根據(jù)勾股定理計(jì)算CM的長(zhǎng),可得結(jié)論
(1)如圖1,∵點(diǎn)N,P是BC,CD的中點(diǎn),
∴PN∥BD,PN=BD,
∵點(diǎn)P,M是CD,DE的中點(diǎn),
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(2)①如圖2,∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,
∵點(diǎn)M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點(diǎn),
∴PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
②當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到第一次點(diǎn)D、E、C在一條直線上時(shí),如圖3,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△CAE,
∴BD=CE,
如圖4,連接AM,
∵M是DE的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),AB=AC,
∴A、M、N共線,且AN⊥BC,
由勾股定理得:AN==4,
∵AD=AE=1,AB=AC=6,
∴=,∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△AEC,
∴,
∴,
∴AM=,DE=,
∴EM=,
如圖3,Rt△ACM中,CM===,
∴BD=CE=CM+EM=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l//AB,P是l上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對(duì)于下列各值:
①線段MN的長(zhǎng);
②△PAB的周長(zhǎng);
③△PMN的面積;
④直線MN,AB之間的距離;
⑤∠APB的大。
其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB于點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:DE⊥AB;
(2)若tan∠BDE=, CF=3,求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(問題提出)
求證:如果一個(gè)定圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直,那么這個(gè)四邊形每組對(duì)邊的平方和是一個(gè)定值.
(從特殊入手)
我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD.請(qǐng)你在圖①中補(bǔ)全特殊位置時(shí)的圖形,并借助于所畫圖形探究問題的結(jié)論.
(問題解決)
已知:如圖②,定圓⊙O的半徑是R,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, AC⊥BD.
求證: .
證明:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx﹣10經(jīng)過點(diǎn)A(12,0)和B(a,﹣5),雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)B.
(1)求直線y=kx﹣10和雙曲線y=的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā),沿過點(diǎn)A與y軸平行的直線向下運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t<12),連接BC,作BD⊥BC交x軸于點(diǎn)D,連接CD,
①當(dāng)點(diǎn)C在雙曲線上時(shí),求t的值;
②在0<t<6范圍內(nèi),∠BCD的大小如果發(fā)生變化,求tan∠BCD的變化范圍;如果不發(fā)生變化,求tan∠BCD的值.
③當(dāng)DC=時(shí),請(qǐng)直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交于F.
(1)求證:CF=CD;
(2)若AF平分∠BAD,連接DE,試判斷DE與AF的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,與的平分線交于點(diǎn),過點(diǎn)作交于點(diǎn),交于點(diǎn),那么下列結(jié)論:
①是等腰三角形;②;
③若,;④.
其中正確的有( )
A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線,直線分別與,相交于點(diǎn)、,小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點(diǎn)為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn),交于點(diǎn)②分別以,為圓心,以大于,長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在內(nèi)交于點(diǎn);③作射線交于點(diǎn),若,則____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【問題情境】
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點(diǎn),E是CD邊的中點(diǎn),AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)證明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
【拓展延伸】
(3)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)分別作出判斷,不需要證明.
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