Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng). （1）求AD的長(zhǎng)； （2）設(shè)CP=x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M，并求出BM的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）如圖1過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E . 依題意，DE= 在Rt△ADE中，AD=； （2）∵CP=x，h為PD邊上的高,依題意，△PDQ的面積S可表示為： S=PD·h = = = 由題意，知0≤x≤5 . 當(dāng)x=時(shí)（滿足0≤x≤5），S最大值=； （3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ . 于是9-x=x，x=  此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖3所示，連QP . △PDQ恰為等邊三角形 . 過(guò)點(diǎn)Q作QM∥DC，交BC于M， 點(diǎn)M即為所求. 連結(jié)MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 . 易證△MCP≌△QDP， ∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD , ∴四邊形PDQM是平行四邊形 . 又MP=PD , ∴四邊形PDQM是菱形 . 所以存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BC-MC=5-=.