【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點D,交AB于點E.
(1)求證:△ABD是等腰三角形;
(2)若∠A=40°,求∠DBC的度數(shù);
(3)若AE=6,△CBD的周長為20,求△ABC的周長.

【答案】
(1)證明:∵AB的垂直平分線MN交AC于點D,

∴DB=DA,

∴△ABD是等腰三角形;


(2)解:∵△ABD是等腰三角形,∠A=40°,

∴∠ABD=∠A=40°,∠ABC=∠C=(180°﹣40°)÷2=70°

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°;


(3)解:∵AB的垂直平分線MN交AC于點D,AE=6,

∴AB=2AE=12,

∵△CBD的周長為20,

∴AC+BC=20,

∴△ABC的周長=AB+AC+BC=12+20=32.


【解析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線到線段兩端點的距離相等即可得證;(2)首先利用三角形內(nèi)角和求得∠ABC的度數(shù),然后減去∠ABD的度數(shù)即可得到答案;(3)將△ABC的周長轉(zhuǎn)化為AB+AC+BC的長即可求得.
【考點精析】認真審題,首先需要了解線段垂直平分線的性質(zhì)(垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線;線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等).

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