【題目】分別以ABCD(∠CDA≠90°)的三邊AB,CD,DA為斜邊作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF.
(1)如圖1,當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時,連接GF,EF.請判斷GF與EF的關(guān)系(只寫結(jié)論,不需證明);
(2)如圖2,當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時,連接GF,EF,(1)中結(jié)論還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,說明理由.

【答案】
(1)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,

∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,

∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,

∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA,

∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣(180°﹣∠CDA)=90°+∠CDA,

∴∠FDG=∠EAF,

∵在△EAF和△GDF中,

,

∴△EAF≌△GDF(SAS),

∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,

∴∠GFE=90°,

∴GF⊥EF,GF=EF


(2)解:GF⊥EF,GF=EF成立;

理由:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,

∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,

∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,

∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°,

∴∠EAF+∠CDF=45°,

∵∠CDF+∠GDF=45°,

∴∠FDG=∠EAF,

∵在△GDF和△EAF中,

,

∴△GDF≌△EAF(SAS),

∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,

∴∠GFE=90°,

∴GF⊥EF,GF=EF


【解析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDG=∠EAF,進(jìn)而得出△EAF≌△GDF即可得出答案;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDG=∠EAF,進(jìn)而得出△EAF≌△GDF即可得出答案.

練習(xí)冊系列答案
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