Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉至如圖的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，
求證：DM=DN．

Answer 1

證明：連結DB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠DCN=90°+45°=135°，
∵AB=BC，D為AC中點，
∴BD=DC=AD，BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=45°，
∴∠DBM=90°+45°=135°=∠DCN，
∵∠BDC=∠MDN=90°，∠MDC=∠MDC，
∴∠BDM=∠CDN，
∵在△CDN和△BDM中，
，
∴△CDN≌△BDM（SAS），
∴DM=DN．
分析：連結DB，求出∠A=∠ACB=45°，∠DCN=135°，BD=DC=AD，BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=45°，求出∠DBM=135°=∠DCN，∠BDM=∠CDN，根據ASA推出△CDN≌△BDM即可．
點評：本題考查了等腰三角形性質，等腰直角三角形性質，直角三角形斜邊上中線性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．