Question

（2005•東城區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=a（x+1）²+m的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C，頂點(diǎn)為M，直線MC的解析式為y=kx-3，且直線MC與x軸交于點(diǎn)N，sin∠BCO=

10

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．
（1）求直線MC及二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P（異于點(diǎn)C），使以點(diǎn)P、N、C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線MC的解析式y(tǒng)=kx-3得C（0，-3），在Rt△BOC中，已知OC=3，解直角三角形求B點(diǎn)坐標(biāo)及m的值，確定M點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線MC的解析式；
（2）存在這樣的點(diǎn)P．根據(jù)直線MC的解析式，判斷△CON為等腰直角三角形，再分別過N、C兩點(diǎn)作直線CN的垂線，與拋物線相交，求垂線的解析式，聯(lián)立垂線解析式與二次函數(shù)解析式，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由直線MC的解析式y(tǒng)=kx-3，得C（0，-3）．
設(shè)OB=t，
∵sin∠BCO=

OB

BC

=

10

10

=

1

10

，
∴BC=

10

t，則OC=3t．
∵OC=3，∴3t=3，
∴t=1．∴OB=1．
∵點(diǎn)B（1，0），C（0，-3）都在二次函數(shù)的圖象上，
∴

4a+m=0 a+m=-3

，解得a=1，m=-4，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²+2x-3．
∵點(diǎn)M（-1，-4）在直線MC上，
∴-4=-k-3即k=1．
∴直線MC的解析式為：y=x-3；

（2）存在這樣的點(diǎn)P．
①由于∠CNO=45°，則N（3，0），在y軸上取點(diǎn)D（0，3），連接ND交拋物線于點(diǎn)P（如圖）．
∴PNC=90°．
直線ND的解析式為：y=-x+3．
解方程組

y=-x+3 y=x2+2x-3

，
解得

x1= -3+ 33 2 y1= 9- 33 2

，

x2= -3- 33 2 y2= 9+ 33 2

；
②由于點(diǎn)A是二次函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)，故A（-3，0）．連接AC（如圖），∠ACN=90°，點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)
P（-3，0）．
綜上，滿足條件的點(diǎn)為P₁（-3，0），P₂（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

），P₃（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是運(yùn)用待定系數(shù)法，解直角三角形求直線、拋物線解析式，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，形數(shù)結(jié)合，分類討論求P點(diǎn)坐標(biāo)．