Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與BD交于點E，且AC＝BD，連接AD，BC．

（1）求證：△ADB≌△BCA；

（2）若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的長；

（3）在（2）的條件下，延長AB至點P，使BP＝2，連接PC．求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）可證∠ACB=∠ADB=90°，則由HL定理可證明結(jié)論；
（2）可證AD=BC=DC，則∠AOD=∠ABC=60°，由直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長；
（3）可得出BC=BP=2，∠BCP=30°，連接OC，可證出∠OCP=90°，則結(jié)論得證．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵AB＝AB，

∴△ADB≌△BCA（HL）；

（2）解：如圖，連接DC，

∵OD⊥AC，

∴，

∴AD＝DC，

∵△ADB≌△BCA，

∴AD＝BC，

∴AD＝DC＝BC，

∴∠AOD＝∠ABC＝60°，

∵AB＝4，

∴；

（3）證明：如圖，連接OC，

由(1)和(2)可知BC=

∵BP＝2

∴BC＝BP＝2

∴∠BCP＝∠P，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BCP＝30°，

∵OC＝OB，∠ABC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OCB＝60°，

∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+30°＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線．