Question

在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如圖1，若AO = OB，請(qǐng)寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AO = OB．

求證：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）將圖2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖3，求的值．

Answer 1

解：（1）AO = BD，AO⊥BD；

（2）證明：如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

  又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，

∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．

又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．

∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于F，如圖4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

（3）如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．

又∵∠BOE = ∠AOC ，

∴△BOE ∽ △AOC．

∴．

又∵OB = kAO，

由（2）的方法易得 BE = BD．∴．