Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC=2，D是AB的中點(diǎn)，直線BM∥AC，E是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將△EDC沿CD翻折得到△E′DC，射線DE′交直線BM于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合時(shí)，求證：四邊形ABE′C為平行四邊形；

（2）如圖2，延長(zhǎng)ED交線段BF于點(diǎn)G．

①設(shè)BG=x，GF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②若△DFG的面積為3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ①y=;②

【解析】分析：（1）由翻折的性質(zhì)得到∠ACD=∠E′CD，再由△ACD為等邊三角形，得到∠ADC=∠ACD，由等量代換得到∠ADC=∠DCE′，進(jìn)而得到AB∥CE′，即可得到結(jié)論．

（2）①解Rt△ABC得到AB=4， BD=2，再證明△BDG∽△BFD， 得到，即可得到結(jié)論．

②由△BDG≌△ADE，得到BG=AE=x．過點(diǎn)D作DH⊥BM于點(diǎn)H，易得DH的長(zhǎng)．

由S△DFG=GF·DH，得到GF的長(zhǎng) ，解方程即可得到結(jié)論．

詳解：（1）由翻折得∠ACD=∠E′CD．在Rt△ABC中，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD=CD．

又∵∠BAC=60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=∠DCE′，

∴AB∥CE′．

又∵AC∥BE′，∴四邊形ABE′C為平行四邊形．

（2）①在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=60°，∴AB=4，∴BD=2．

又∵BM∥CE，∴∠BGD=∠DEC，

由翻折得：∠DEC=∠DE′C．

又∵AB∥CE′，∴∠DE′C=∠BDF，∴∠BGD=∠BDF，

∴△BDG∽△BFD， ∴，

∴4=x(x+y)，∴y=．

②易證△BDG≌△ADE，∴BG=AE=x．

過點(diǎn)D作DH⊥BM于點(diǎn)H．

∵D為AB的中點(diǎn)，可得DH=BC=．

∵S△DFG=GF·DH=3，∴GF=6 ，

∴=6，∴x=．

又∵x>0，∴x=，∴AE=．