Question

已知點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（0，1）、（0，－1），點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作平行于軸的直線。

（1）求證：以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線相切；

（2）設(shè)直線PM，NP與拋物線的另一個交點(diǎn)分別為點(diǎn)Q，R，求證：Q，R兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱．

Answer 1

證明：（1）過點(diǎn)P作PA⊥，垂足為A，過點(diǎn)M作MB⊥PA，垂足為B

∵P點(diǎn)在拋物線上，

∴可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）        

∵N（0，－1），∥軸

∴A（，－1）

∴PA=                                         

∴M（0，1）

∴B（，1）

∴PB=

∴ 

PA=PM

∴以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線相切    

（2）設(shè)過點(diǎn)M的直線PQ的解析式為，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

∴，    

∴

∴

∵

∴                  

設(shè)直線PN的解析式為，

PN與拋物線的另一交點(diǎn)為R（，）

同理，可求得                 

∴                                               

∵拋物線關(guān)于軸對稱

∴點(diǎn)Q與R關(guān)于軸對稱.