Question

【題目】小東根據學習函數的經驗，對函數的圖像與性質進行了探究，下面是小東的探究過程，請補充完整，并解決相關問題：

（1）函數的自變量x的取值范圍是__________________

（2）如表示y與x的幾組對應值：

x

…

…

y

…

m

…

表中m的值為____________

（3）如圖，在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點，畫出函數的大致圖像；

（4）結合函數圖像，請寫出函數的2條性質：

①__________________________________________________________________________

②__________________________________________________________________________

（5）解決問題：如果函數與直線的交點有2個，那么a的取值范圍是_______________________

（6）在函數圖像上，若，則m的取值范圍______________

Answer 1

【答案】（1）全體實數；（2）；（3）見解析；（4）①當x＝1時，函數有最大值4；②當x＜1時，y隨x的增大而增大，當x＞1時，y隨x的增大而減��；（5）0＜a＜4；（6）m≥.

【解析】

（1）根據分式的分母不能為零進行求解；

（2）代入x=4，求出對應的函數值即可；

（3）用平滑的曲線將點連接起來即可；

（4）根據函數圖象寫2條性質即可；

（5）根據圖象，可得答案；

（6）根據函數的對稱性和增減性，分三種情況，分別判斷在m的不同取值范圍內，和的大小關系即可.

解：（1）∵不論x為何值，分母都不為0，

∴自變量x的取值范圍是：全體實數，

故答案為：全體實數；

（2）當x＝4時，，

故答案為：；

（3）如圖所示：

（4）結合函數圖像可知：①當x＝1時，函數有最大值4；②當x＜1時，y隨x的增大而增大，當x＞1時，y隨x的增大而減��；

（5）由圖象得：當0＜a＜4時，函數與直線的交點有2個，

故答案為：0＜a＜4；

（6）由函數圖象可知：函數圖象關于直線x=1對稱，當x＝1時，函數有最大值，當x＜1時，y隨x的增大而增大，當x＞1時，y隨x的增大而減小，

故分情況討論：

①當m≥1時，y隨x的增大而減小，m+1＞m，則；

②當≤m＜1時，≤m+1＜2，由函數圖象可得，此時；

③當m＜時，m+1＜，由函數圖象可得，此時，

綜上所述：當時，m的取值范圍是：m≥.