【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,C不重合),連接DE,作EF⊥DE交射線BA于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC分別交CD,AB于點(diǎn)M、N,作射線DF交射線CA于點(diǎn)G.
(1)求證:EF=DE;
(2)當(dāng)AF=2時(shí),求GE的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及EF⊥DE,證明△DME≌△ENF即可;
(2)根據(jù)勾股定理計(jì)算出DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,計(jì)算出DG,FG的值,利用特殊角的銳角三角函數(shù)計(jì)算出DE的值,最后證明△DGE∽△AGF,利用相似比列出方程即可求出GE的值.
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,且MN∥BC,
∴四邊形ANMD是矩形,∠BAC=45°,
∴∠ANM=∠DMN=90°,EN=AN=DM,
∴∠DEM+∠EDM=90°,
∵EF⊥DE,
∴∠DEM+∠FEN=90°,
∴∠EDM=∠FEN,
∴在△DME與△ENF中
∠DME=∠ENF=90°,DM=EN,∠EDM=∠FEN,
∴△DME≌△ENF(ASA),
∴EF=DE;
(2)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,∠DAB=90°,
∴DF=,
∴,即,解得:DG=,
∴FG=DF-DG=,
又∵DE=EF,EF⊥DE,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴∠EDF=45°,DE=EF=,
∴∠GAF=∠GDE=45°,
又∵∠DGE=∠AGF,
∴△DGE∽△AGF,
∴,即,解得:,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓,∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AB=25,BC=,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)求的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出的x的取值范圍
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中 ,連接,點(diǎn),分別是的點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),,相交于點(diǎn).
(1)求,的長(zhǎng);
(2)求證:~;
(3)當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠BAC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E,若BD=4,CD=1,則DE的長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y1=,y2=﹣(k>0).
(1)當(dāng)2≤x≤3時(shí),函數(shù)y1的最大值是a,函數(shù)y2的最小值是a﹣4,求a和k的值.
(2)設(shè)m≠0,且m≠﹣1,當(dāng)x=m時(shí),y1=p;當(dāng)x=m+1時(shí),y1=q.圓圓說(shuō):“p一定大于q”.你認(rèn)為圓圓的說(shuō)法正確嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式變得更多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問(wèn)卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查共調(diào)查了______名學(xué)生;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為______;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該校共有1500名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校最喜歡用“微信”溝通的學(xué)生有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從“微信”、“QQ”、“電話”三種溝通方式中選一種方式與對(duì)方聯(lián)系,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑為AB,點(diǎn)C在圓周上(異于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分線,求證:直線CD是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,以AD為直徑在矩形內(nèi)作半圓,點(diǎn)E為半圓上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合),連接DE、CE,當(dāng)△DEC為等腰三角形時(shí),DE的長(zhǎng)為_____.
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