Question

如圖，已知矩形ABCD和點P，當(dāng)點P在邊BC上任一位置（如圖①所示）時，易證得結(jié)論：PA²+PC²=PB²+PD²．
以下請你探究：當(dāng)P點分別在圖②、圖③中的位置時，即P在矩形ABCD的內(nèi)部和外部時，線段PA²，PB²，PC²，PD²又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你寫出對上述兩種情況的探究結(jié)論，并證明圖②（P在矩形ABCD的內(nèi)部）的結(jié)論．

答：對圖②的探究結(jié)論為

PA²+PC²=PB²+PD²

，對圖③的探究結(jié)論為

PA²+PC²=PB²+PD²

．

Answer 1

分析：圖②中，過點P作EF∥AB，作MN∥BC，把矩形ABCD分成四個小矩形，然后分別表示出PA、PB、PC、PD的平方，根據(jù)平方關(guān)系即可得解；
圖③中，過點P作PF∥AB交AD于點E，EF把矩形ABCD分成兩個矩形，然后分別表示出PA、PB、PC、PD的平方，根據(jù)平方關(guān)系即可得解．

解答：
解：圖②，過點P作EF∥AB，作MN∥BC，
則四邊形AMPE，四邊形BFPM，四邊形FCNP，四邊形NDEP都是矩形，
根據(jù)勾股定理得，PA²=AE²+PE²，
PB²=BF²+PF²，
PC²=FC²+PF²，
PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²；

圖③，過點P作PF∥AB交AD于點E，則四邊形ABEF，四邊形FCDE都是矩形，
根據(jù)勾股定理得，PA²=AE²+PE²，PB²=BF²+PF²，PC²=FC²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²．
故答案為：對圖②的探究結(jié)論為：PA²+PC²=PB²+PD²，對圖③的探究結(jié)論為：PA²+PC²=PB²+PD²．

點評：本題考查了矩形的對邊平行且相等的性質(zhì)，勾股定理的運用，讀懂題目信息，根據(jù)題目提供的信息找出思路，然后作出輔助線是解題的關(guān)鍵．