Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝2OB．

（1）點(diǎn)F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上另一動(dòng)點(diǎn)（不與H點(diǎn)重合），連接OF、FH、FM、FN和MN，當(dāng)OF+FH取最小值時(shí)，求△FMN周長(zhǎng)的最小值；

（2）如圖2，將△AOB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B，其中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O'，連接CO'，將△BCO'沿著直線BC平移，記平移過(guò)程中△BCO'為△B'C'O″，其中點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，點(diǎn)O′對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O″，直線C'O″與x軸交于點(diǎn)P，在平移過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使得△O″PC為等腰三角形？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）滿足條件的點(diǎn)P為：（8+2，0）或（，0）或（5，0）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O'（），過(guò)點(diǎn)O'作O'H⊥OC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)H，此時(shí)OF+FH的值最小，求出點(diǎn)F坐標(biāo)，作點(diǎn)F關(guān)于直線AB與直線OC的對(duì)稱點(diǎn)，連接F'F'交直線AB于點(diǎn)M，交直線OC于點(diǎn)N，此時(shí)△FMN周長(zhǎng)有最小值，由兩點(diǎn)距離公式可求△FMN周長(zhǎng)的最小值；

（2）分O'C＝PC，O'P＝PC，O'P＝O'C三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣2，

∴點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2）

∴OB＝2

∵OC＝2OB．

∴OC＝4

∴點(diǎn)C（4，0）

設(shè)直線BC解析式為：y＝kx+2，且過(guò)點(diǎn)C（4，0）

∴0＝4k+2

∴k＝

∴直線BC解析式為：y＝x+2，

如圖，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O'（），過(guò)點(diǎn)O'作O'H⊥OC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)H，此時(shí)OF+FH的值最小．

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為

∴點(diǎn)F（）

作點(diǎn)F關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)F'（），

作點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F'（）

連接F'F'交直線AB于點(diǎn)M，交直線OC于點(diǎn)N，此時(shí)△FMN周長(zhǎng)有最小值，

∴△FMN周長(zhǎng)的最小值＝

（2）∵將△AOB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'O’B，

∴O'點(diǎn)坐標(biāo)（2，2）

設(shè)直線O'C的解析式為：y＝mx+b

∴

∴

∴直線O'C的解析式為：y＝﹣x+4

如圖，過(guò)點(diǎn)O'作O'E⊥OC

∴OE＝2，O'E＝2

∴EC＝O'E＝2

∴∠O'CE＝45°

∵將△BCO'沿著直線BC平移，

∴O'O'∥BC，O'C∥O'C'，

∴設(shè)O'O'的解析式為y＝x+n，且過(guò)（2，2）

∴2＝×2+n

∴n＝3

∴直線O'O'的解析式為y＝x+3

若CO'＝CP，

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PC＝45°

∵CO'＝CP

∴∠CO'P＝∠O'PC＝45°

∴∠O'CP＝90°

∴點(diǎn)O'的橫坐標(biāo)為4，

∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝×4+3＝1

∴點(diǎn)O'（4，1）

∴CO'＝1＝CP

∴點(diǎn)P（5，0）

若CO'＝O'P，如圖，過(guò)點(diǎn)O'作O'N⊥CP于N，

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PC＝45°

∵CO'＝O'P

∴∠O'CP＝∠CPO'＝45°，

∴∠CO'P＝90°，且CO'＝O'P，O'N⊥CP

∴CN＝PN＝O'N＝CP

設(shè)CP＝a，

∴CN＝PN＝O'N＝CP＝a

∴點(diǎn)O'（4+a，a），且直線O'O'的解析式為y＝﹣x+3

∴a＝﹣（4+a）+3

∴a＝

∴CP＝

∴點(diǎn)P（，0）

若CP＝O'P，如圖，過(guò)點(diǎn)O'作O'N⊥CP于N

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PM＝45°

∴∠O'PN＝∠O'PM＝45°，且O'N⊥CP

∴∠NPO'＝∠PO'N＝45°

∴PN＝O'N

∴O'P＝PN＝CP

設(shè)PN＝b，則O'N＝b，CP＝PO'＝b

∴點(diǎn)O'坐標(biāo)（4+b+b，﹣b），且直線O'O'的解析式為y＝x+3

∴﹣b＝×（4+b+b）+3

∴b＝2+2

∴CP＝4+2

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（8+2，0）

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P為：（8+2，0）或（，0）或（5，0）