在直角△ABC中,∠C=90°,直角邊BC與直角坐標(biāo)系中的x軸重合,其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為P(0,1),若拋物線y=kx2+2kx+1的頂點為A.求:
(1)求拋物線的對稱軸、頂點坐標(biāo)和開口方向;
(2)用k表示B點的坐標(biāo);
(3)當(dāng)k取何值時,∠ABC=60°?
【答案】
分析:(1)對二次函數(shù)式進行變形,可得y=k(x+1)
2+(1-k),即得頂點坐標(biāo)A(-1,1-k),對稱軸就是x=-1,又x=0時,y=1,說明函數(shù)經(jīng)過(0,1),也就是二次函數(shù)的開口必然向下,即k<0;
(2)用k的代數(shù)式分別表示AC、BC、AB,利用勾股定理可得相等關(guān)系,可求出OB,即得B點坐標(biāo);
(3)在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值,可求出k的值,注意k<0.
解答:
解:(1)∵y=kx
2+2kx+1
∴對稱軸x=-1,易見拋物線是以Rt△ABC的直角邊AC所在直線為對稱軸,
由題易得A(-1,1-k),又當(dāng)x=0時,y=1
即拋物線過p(0,1),
故k<0開口向下.(4分)
(2)如圖,
AC=1-K BC=CO+OB=1+OB AB=AD+BD=AE+OB=AC-CE+OB=OB-k
由勾股定理得(1-k)
2+(1+OB)
2=(OB-k)
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(4分)
(3)∵∠ABC=60°,
∴
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又
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∴
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∴
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,
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又∵k<0
∴
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.(4分)
點評:本題利用了二次函數(shù)的解析式可以變形,勾股定理,以及三角函數(shù),解一元二次方程等知識.