【題目】在中,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是邊上一點(diǎn),,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),,交邊于點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),分別交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí),求線段的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)或.
【解析】
(1)只要證明△OBD∽△NED,即可解決問題;
(2)由tan∠DBC=,又因?yàn)?/span>,可得,由此即可解決問題;
(3)分兩種情形:①如圖21中,當(dāng)DE=DF時(shí),②如圖22中,當(dāng)DE=EF時(shí),分別求解即可解決問題.
(1)證明:如圖1中,
∵OD⊥DF,BD⊥DE,
∴∠ODF=∠BDE=90,
∴∠ODB=∠NDE,
∵EG⊥AB,
∴∠BGM=∠MDE=90,
∵∠BMG=∠EMD,
∴OBD=∠DEN,
∴△OBD∽△NED,
∴.
(2)解:如圖1中,∵∠BCD=∠BDE=90,
∴tan∠DBC=,
∵,
∴,
在Rt△ABC中,AB===5,
∴OB=OA=2.5,
∴,
∴y=x,
∵點(diǎn)是的中點(diǎn),,交邊于點(diǎn),,
∴0<CD≤2,即定義域?yàn)椋?/span>0<x≤2;
(3)解:①如圖21中,當(dāng)DE=DF時(shí),作OK⊥AC于K,設(shè)CD=x.
∵∠OKD=∠DCF=∠ODF=90,
∴∠ODK+∠KOD=90,∠ODK+∠CDF=90,
∴∠DOK=∠CDF,
∴△OKD∽△DCF,
∴,
∴,
∴CF=x(2x),
∵DF=DE,DC⊥EF,
∴∠CDE=∠CDF,
∵∠CDE+∠CDB=90,∠CBD+∠CDB=90,
∴∠CDE=∠CBD=∠CDF,
∵∠DCF=∠DCB=90,
∴△DCF∽△BCD,
∴,
∴CD2=CFCB,
∴x2=2x(2x),
解得x=或0(舍棄)
∴CD=;
②如圖22中,當(dāng)DE=EF時(shí),設(shè)CD=x,
∵ED=EF,
∴∠EDF=∠EFD,
∴∠EDC+∠CDF=∠DBC+∠BDF,
∵∠EDC=∠DBC,
∴∠CDF=∠BDF,
∵∠CDF+∠ADO=90,∠BDF+∠BDO=90,
∴∠ADO=∠BDO,
∵AO=OB,
作OM⊥AD于M,ON⊥BD于N,則OM=ON,
∵OA=OB,∠AMO=∠ONB=90,
∴Rt△AOM≌△BON(HL),
∴∠A=∠ABD,
∴DA=DB,
∴DA=DB=4x,
在Rt△BCD中,∵BD2=CD2+BC2,
∴(4x)2=x2+32,
∴x=,
∴CD=.
綜上所述,CD的長(zhǎng)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,邊長(zhǎng),,兩動(dòng)點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā),點(diǎn)從沿向勻速運(yùn)動(dòng),每秒,點(diǎn)從沿向勻速運(yùn)動(dòng),每秒,兩點(diǎn)、中有一點(diǎn)到達(dá)矩形的頂點(diǎn)則運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,的面積為
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;
(2)當(dāng)、兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),的面積為;
(3)當(dāng)取何值時(shí),的面積最大?并求出其最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),交于點(diǎn),點(diǎn)在射線上,且是和的比例中項(xiàng).
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段之間,聯(lián)結(jié),且與互相垂直,求的長(zhǎng);
(3)聯(lián)結(jié),如果與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)所組成的三角形相似,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰△ABC 紙板中, AB =AC=5 , BC = 2 ,P為AB上一點(diǎn),過P沿直線剪下一個(gè)與△ABC 相似的小三角形紙板,恰有 3 種不同的剪法,那么BP長(zhǎng)可以為( ).
A.3.6B.2.6C.1.6D.0.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
| ﹣4 | ﹣4 | 0 | … |
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)E(4, y)是該拋物線上的點(diǎn),點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn)F,求點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y=﹣x(x+3﹣a)+1是關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)1≤x≤5時(shí),如果y在x=1時(shí)取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)平面xOy中,點(diǎn)A坐標(biāo)為,,,AB與x軸交于點(diǎn)C,那么AC:BC的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線L上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的面積分別為1和9,則b的面積為( )
A.8 B.9 C.10 D.11
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. 為了解蘇州市中學(xué)生的睡眠情況,應(yīng)該采用普查的方式
B. 某種彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是,則買張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)
C. 一組數(shù)據(jù),,,,,,的眾數(shù)和中位數(shù)都是
D. 若甲組數(shù)據(jù)的方差,乙組數(shù)據(jù)的方差,則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
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