Question

如圖所示，直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)D并交BA的延長線于點(diǎn)C，且AB=2，AD=1，P點(diǎn)在切線CD上移動．當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，則∠ABP的度數(shù)為（ ）

A．15°
B．30°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：連接BD，由題意可知當(dāng)P和D重合時(shí)，∠APB的度數(shù)最大，利用圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)即可求出∠ABP的度數(shù)．
解答：解：連接BD，
∵直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)D，
∴∠ADB=90°，
當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，
則P和D重合，
∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，
∴sin∠DBA==，
∴∠ABP=30°，
∴當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，∠ABP的度數(shù)為30°．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及解直角三角形的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是由題意可知當(dāng)P和D重合時(shí)，∠APB的度數(shù)最大為90°．