Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為C'．

（1）如果C'落在線段AB的延長線上．

①在圖①中補(bǔ)全圖形；

②求線段BP的長度；

（2）如圖②，設(shè)直線AP與CC'的交點(diǎn)為M，求證：BM⊥DM．

Answer 1

【答案】（1）①見解析;②PB＝;（2）見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；

②連接AC，作PH⊥AC于H．則△APB≌△APH，同側(cè)AB＝AH＝1，PB＝PH，設(shè)PB＝PH＝x，利用勾股定理構(gòu)建方程即可；

（2）如圖②中，連接AC、BD交于點(diǎn)O．連接OM．只要證明A、B、M、C、D五點(diǎn)共圓，即可解決問題；

解：（1）①如圖①所示：

②連接AC，作PH⊥AC于H．則△APB≌△APH，

∴AB＝AH＝1，PB＝PH，設(shè)PB＝PH＝x，

∵AC＝＝，

∴CH＝﹣1，

在Rt△PCH中，x2+（﹣1）2＝（2﹣x）2，

解得x＝，

∴PB＝．

（2）如圖②中，連接AC、BD交于點(diǎn)O．連接OM．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∵∠AMC＝90°，

∴OM＝OA＝OB＝OC＝OD，

∴A、B、M、C、D五點(diǎn)共圓，

∵BD是直徑，

∴∠BMD＝90°，

∴BM⊥DM．