Question

如圖，P是拋物線y=2（x-2）²對稱軸上的一個動點，直線x=t平行y軸，分別與y=x、拋物線交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t=    ．

Answer 1

【答案】分析：依題意，y=2x²-8x+8，設A（t，t），B（t，2t²-8t+8），則AB=|t-（2t²-8t+8）|=|2t²-9t+8|，當△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PAB=90°，PA=AB=|t-2|；當△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，PB=AB=|t-2|；分別列方程求k的值．
解答：解：∵y=2（x-2）²
∴y=2x²-8x+8，
∵直線x=t分別與直線y=x、拋物線y=2x²-8x+8交于點A、B兩點，
∴設A（t，t），B（t，2t²-8t+8），AB=|t-（2t²-8t+8）|=|2t²-9t+8|，
①當△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，∠PAB=90°，此時PA=AB=|t-2|，
即|2t²-9t+8|=|t-2|，
∴2t²-9t+8=t-2，或2t²-9t+8=2-t，
解得t=或1或3；
②當△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，此時PB=AB=|t-2|，結果同上．
故答案為：或1或3．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據函數解析式表示A、B兩點坐標，再表示線段AB，根據題意，列方程求解．