Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（3，0），C（﹣1，0）．

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B，當(dāng)PB+PC最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在第一象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)Q，當(dāng)△QAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)當(dāng)m=時(shí)，S最大，此時(shí)Q（，）．

【解析】

（1）把點(diǎn)A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到結(jié)論；

（2）連結(jié)AB，與對稱軸交于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PC最小．根據(jù)拋物線解析式求出B（0，3），利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，于是得到結(jié)論；

（3）設(shè)Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面積為S，連接QA，QB，OQ，根據(jù)S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S與m的關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)求出m的值，進(jìn)而得到結(jié)論．

（1）把點(diǎn)A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，

得，解得，

則拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）連結(jié)AB，與對稱軸交于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PC最小．

在y=-x2+2x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則B（0，3）．

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（3，0），B（0，3），

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+3，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴對稱軸是直線x=1．

當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，

∴P（1，2）；

（3）設(shè)Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面積為S，如圖，連接QA，QB，OQ．

則S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB

=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3

=-m2+m

=-（m-）2+，

∴當(dāng)m═時(shí)，S最大，此時(shí)Q（，）．