Question

【題目】如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是邊 CD 上一點，將△

ADM 沿直線 AM 對折，得到△AMM．

(1)當 AN 平分∠MAB 時，求 DM 的長；

(2)連接 BN，當 DM＝1 時，求 BN 的長．

Answer 1

【答案】 (1)DM＝；(2)BN＝.

【解析】

（1）由折疊性質得∠MAN＝∠DAM，證出∠DAM＝∠MAN＝∠NAB， 由三角函數得出 DM＝ADtan∠DAM＝即可；

（2）如圖，作 NE⊥AB 于 E，延長 EN 交 CD 于 F．則 NF⊥CD．利用相似三角形的性質即可解決問題.

(1)由折疊性質得：△ANM≌△ADM，

∴∠MAN＝∠DAM，

∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，

∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴∠DAM＝30°，

∴DM＝ADtan∠DAM＝3×tan30°＝3×＝；

(2)如圖，作NE⊥AB于E，延長EN交CD于F，則NF⊥CD，

∵∠MFN＝∠MNA＝∠AEN＝90°，

∴∠MNF+∠ANE＝90°，∠ANE+∠NAE＝90°，

∴∠FNM＝∠NAE，

∴△MNF∽△NAE，

∴，

設 MF＝x，F(xiàn)N＝y(tǒng)， 則有，

解得 x＝0.8，y＝0.6，

∴AE＝1.8，NE＝2.4，BE＝AB﹣AE＝2.2

∴BN＝＝＝.