如圖1所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且點B、A、D在一條直線上,連接BE、CD,M、N分別為BE、CD的中點.
(1)判斷△AMN的形狀,請說明理由.
(2)將圖2中的△ADE繞A旋轉(zhuǎn),條件不變,在旋轉(zhuǎn)過程中,△AMN的形狀是否發(fā)生變化?根據(jù)圖2中點D的位置畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,并判斷此時△AMN的形狀(直接寫出結(jié)論,不需要證明)
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解:(1)△AMN是等腰三角形
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
∴∠BAE=∠CAD.
在△BAE和△CAD中,
,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD,∠ABE=∠ACD
BE=CD.
∵M、N分別為BE、CD的中點.
∴BM=BE,CN=CD.
∴BM=CN.
在△AMB和△ANC中,
,
∴△AMB≌△ANC(SAS),
∴AM=AN,
∴△AMN是等腰三角形;

(2)△AMN是等腰三角形.
在△BAE和△CAD中,
,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD.,∠ABE=∠ACD
BE=CD.
∵M、N分別為BE、CD的中點.
∴BM=BE,CN=CD.
∴BM=CN.
在△AMB和△ANC中,

∴△AMB≌△ANC(SAS),
∴AM=AN,
∴△AMN是等腰三角形.
分析:(1)如圖1,先根據(jù)條件得出∠BAE=∠CAD,就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD,BE=CD,由中點的性質(zhì)就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出結(jié)論;
(2)如圖2,先根據(jù)條件就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD,BE=CD,由中點的性質(zhì)就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出結(jié)論.
點評:本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,等式的性質(zhì)的運用,解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖1所示,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,O為BC的中點,動點E在BA邊上自由移動,動點F在AC邊上自由移動.
(1)點E,F(xiàn)的移動過程中,△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形?若能,請指出△OEF為等腰三角形時動點E,F(xiàn)的位置;若不能,請說明理由;
(2)當(dāng)∠EOF=45°時,設(shè)BE=x,CF=y,求y與x之間的函數(shù)解析式,寫出x的取值范圍;
(3)在滿足(2)中的條件時,若以O(shè)為圓心的圓與AB相切(如圖2),試探究直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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16、在圖(1),(2)中,點A,B,D都在同一條直線MN上,每個三角形的三邊長如圖2所示,在圖(1)中,將△ABC
繞B點旋轉(zhuǎn)180°
可與△BDE重合;在圖(2)中,將△ABC
沿著直線MN方向平移,使AB與BD重合,再將△ABC沿直線MN翻轉(zhuǎn)180°
可與△BDE重合.

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29、閱讀探究題:數(shù)學(xué)課上,張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識:有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形,如圖1所示:在△ABC中,若AB=AC,則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C.此時,張老師出示了問題:如圖2,四邊形ABCD是正方形(正方形的四邊相等,四個角都是直角),點E是邊BC的中點.∠AEF=90°,且EF交∠DCG的平分線CF于點F,求證:AE=EF.經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:在線段AB上取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,在此基礎(chǔ)上,請聰明的同學(xué)們作進一步的研究:
(1)求出角∠AME的度數(shù);
(2)你能在小明的思路下證明結(jié)論嗎?
(3)小穎提出:如圖3,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;

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(2012•豐臺區(qū)一模)將矩形紙片分別沿兩條不同的直線剪兩刀,可以使剪得的三塊紙片恰能拼成一個等腰三角形(不能有重疊和縫隙).
小明的做法是:如圖1所示,在矩形ABCD中,分別取AD、AB、CD的中點P、E、F,并沿直線PE、PF剪兩刀,所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如圖2).
(1)在圖3中畫出另一種剪拼成等腰三角形的示意圖;
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或2
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