Question

【題目】如圖，在四邊形 中， ，對(duì)角線 平分 ．

（1）求證： ．
（2）若 ， ， ，求 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，

過 點(diǎn)作 ， ，

∵ 是 的角平分線，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ．

（2）解：∵ 且 和 為直角三角形，

∴設(shè) ，

則 ， ，

而又∵ ≌ ， ≌ ，

∴ ，

即 ，解得 ，

∴ ，

則 的長(zhǎng)為

【解析】（1）抓住已知條件AC平分 ∠B AD， 過C點(diǎn)作CE⊥AB ， CF⊥AD，可證得CE=CF,再根據(jù)BC=CD，就可證明△CFD ≌ △CEB，得出∠D=∠EBC，然后根據(jù)∠EBC+∠B=180° ，即可證得結(jié)論。
（3）根據(jù)已知條件易證△BEC 和 △FDC 為等腰直角三角形，設(shè)它們的直角邊長(zhǎng)為x，就可表示出AE、AF的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得AE=AF，建立關(guān)于x的方程，求出x的值，然后根據(jù)勾股定理，在Rt△ACF中就可求出AC的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和勾股定理的概念，掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．