Question

11、如圖，在以AB為直徑的半圓中，E是弦AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交半圓于點(diǎn)D，若OB=2，OE=1，則∠CDE的度數(shù)是 

30°

．

Answer 1

分析：連接BC．構(gòu)建∠CAB與∠CDE是同弧$widehat{BC}$所對(duì)的圓周角．根據(jù)三角形的中位線定理，求得△AEO是直角三角形，然后在直角三角形AEO中由30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求得∠CAB=30°；最后根據(jù)圓周角定理求得∠CDE=30°（同弧所對(duì)的的圓周角相等）．

解答：解：連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°；
∵E是弦AC的中點(diǎn)，O是直徑AB的中點(diǎn)，
∴OE∥BC，
∴OE⊥BC；
∵OB=2，OE=1，
∴AO=2，
∴AO=2OE，
∴∠CAB=30°（30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半）；
∴∠CDE=30°（同弧所對(duì)的的圓周角相等）；
故答案是：30°．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、三角形的中位線定理及含30°角的直角三角形．解答此題時(shí)，借助于輔助線BC，構(gòu)建∠CAB與∠CDE是同弧$widehat{BC}$所對(duì)的圓周角、OE是直角三角形ABC的中位線，從而在直角三角形AEO中求得∠CAB=30°；然后又有圓周角定理：同弧所對(duì)的的圓周角相等，求得∠CDE=30°．