Question

如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，

7

9

3

），且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得線段AB長(zhǎng)為6．
（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為

 

；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，又由AB=6，對(duì)稱(chēng)軸x=4，即可求得A，B的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）²+k，又由拋物線過(guò)點(diǎn)A，B，D即可求得拋物線的解析式；
（3）由PA=PB，可知：當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值，則可利用△BPM∽△BDO求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)求得∠ACB的度數(shù)，分當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)與當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)求解即可，注意要檢驗(yàn)是否所得結(jié)果符合題意．

解答：解：（1）∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，
∴A（1，0）、B（7，0）；

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）²+k，
∵頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過(guò)點(diǎn)（0，

7

9

3

），
∴y=a（x-4）²+k

7

9

3

=16a+k①，
又∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，
∴A（1，0），B（7，0），
∴0=9a+k②，
由①②解得a=

3

9

，k=-

3

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=

3

9

（x-4）²-

3

或y=

3

9

x²-

8 3

9

x+

7 3

9

．

（3）解法一：∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對(duì)稱(chēng)，
∴PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD≥DB，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值，
∴DB與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，
設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M，
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，
∴△BPM∽△BDO，
∴

PM

DO

=

BM

BO

，
∴PM=

7 9 3 ×3

7

=

3

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，

3

3

）．

解法二：利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，即直線DB為y=-

3

9

x+

7 3

9

．

（4）由（1）知點(diǎn)C（4，-

3

），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cos∠ACM=

1

2

，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過(guò)Q作QN⊥x軸于N，如果AB=BQ，
由△ACB∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=∠ACB=120°，則∠QBN=60°，
∴QN=3

3

，BN=3，ON=10，此時(shí)點(diǎn)Q（10，3

3

），如果AB=AQ，由對(duì)稱(chēng)性知Q（-2，3

3

）
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，△QAB就是△ACB，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，-

3

），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)（10，3

3

）與（-2，3

3

）都在拋物線上，
綜上所述，經(jīng)驗(yàn)證：存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB∽△ABC，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（10，3

3

）或（-2，3

3

）或（4，-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性求點(diǎn)的坐標(biāo)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．