【題目】如圖,已知拋物線 y=x2+2x 的頂點(diǎn)為 A,直線 y=x+2 與拋物線交于 B,C 兩點(diǎn).
(1)求 A,B,C 三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)作 CD⊥x 軸于點(diǎn) D,求證:△ODC∽△ABC;
(3)若點(diǎn) P 為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn) P 作 PM⊥x 軸于點(diǎn) M,則是否還存在除 C 點(diǎn)外的其他位置的點(diǎn),使以 O,P,M 為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似? 若存在,請(qǐng)求出這樣的 P 點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)B(﹣2,0),C(1,3);(2)見(jiàn)解析;(3)存在這樣的點(diǎn) P,坐標(biāo)為(﹣,﹣)或(﹣,)或(﹣5,15).
【解析】
(1)可設(shè)頂點(diǎn)式,把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)勾股定理可得∠ABC=90°,進(jìn)而可求△ODC∽△ABC.
(3)設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo),可表示出M點(diǎn)坐標(biāo),利用三角形相似可求得p點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)解:y=x2+2x=(x+1)2﹣1,
∴頂點(diǎn) A(﹣1,﹣1);
由 ,解得:或
∴B(﹣2,0),C(1,3);
(2)證明:∵A(﹣1,﹣1),B(﹣2,0),C(1,3),
∴AB= ,
BC= ,
AC=,
∴AB2+BC2=AC2,,
∴∠ABC=90°,
∵OD=1,CD=3,
∴=,
∴,∠ABC=∠ODC=90°,
∴△ODC∽△ABC;
(3)存在這樣的 P 點(diǎn),設(shè) M(x,0),則 P(x,x2+2x),
∴OM=|x|,PM=|x2+2x|,
當(dāng)以 O,P,M 為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似時(shí),
有或 ,
由(2)知:AB= ,CB=,
①當(dāng)時(shí),則 =, 當(dāng) P 在第二象限時(shí),x<0,x2+2x>0,
∴,解得:x1=0(舍),x2= -, 當(dāng) P 在第三象限時(shí),x<0,x2+2x<0,
∴= ,解得:x1=0(舍),x2=-,
②當(dāng)時(shí),則 =3, 同理代入可得:x=﹣5 或 x=1(舍),
綜上所述,存在這樣的點(diǎn) P,坐標(biāo)為(-,-)或(-,)或(﹣5,15).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn),將沿折疊,得到若恰好落在射線上,則的長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求BC邊的長(zhǎng);
(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求t的值;
(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí),求t的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C,D分別為線段AB,OB的中點(diǎn),點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn),PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
A. (-3,0) B. (-6,0) C. (-,0) D. (-,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠ADB=30°,E為BC邊上一點(diǎn),∠AEB=45°,CF⊥BD于F.下列結(jié)論:①BE=CD,②BF=3DF,③AE=AO,④CE=CF.正確的結(jié)論有( 。
A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下是八(1)班學(xué)生身高的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)回答以下問(wèn)題.
八(1)班學(xué)生身高統(tǒng)計(jì)表
組別 | 身高(單位:米) | 人數(shù) |
第一組 | 1.85以上 | 1 |
第二組 | ||
第三組 | 19 | |
第四組 | ||
第五組 | 1.55以下 | 8 |
(1)求出統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖缺的數(shù)據(jù).
(2)八(1)班學(xué)生身高這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第幾組?
(3)如果現(xiàn)在八(1)班學(xué)生的平均身高是1.63 ,已確定新學(xué)期班級(jí)轉(zhuǎn)來(lái)兩名新同學(xué),新同學(xué)的身高分別是1.54 和1.77 ,那么這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第幾組?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,∠BCD=120°,CA平分∠BCD.
(1)求證:△ABD是等邊三角形;
(2)若BD=3,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,A、C的坐標(biāo)分別是(﹣4,6),(﹣1,4).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系;
(2)請(qǐng)畫(huà)出△ABC向右平移6個(gè)單位的△A1B1C1,并寫(xiě)出C1的坐標(biāo) ;
(3)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A2B2C2 , 并寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)E、F,FD⊥x軸,垂足為D,連接OE、OF、EF,FD與OE相交于點(diǎn)G.下列結(jié)論:①OF=OE;②∠EOF=60°;③四邊形AEGD與△FOG面積相等;④EF=CF+AE;⑤若∠EOF=45°,EF=4,則直線FE的函數(shù)解析式為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.2B.3C.4D.5
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