Question

如圖，正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；    
（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最�。�求P點(diǎn)坐標(biāo)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積為函數(shù)的系數(shù)和△OAM的面積為1可得k=2，即反比例函數(shù)的解析式為 y=

2

x

．
（2）由正比例函數(shù) y=

1

2

x的圖象與反比例函數(shù) y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)求得A為（2，1）．要使PA+PB最小，需作出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，并連接BC，交x軸于點(diǎn)P，P為所求點(diǎn)．A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C（2，-1），而B為（1，2），故BC的解析式為y=-3x+5，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則 b=

k

a

∴ab=k
∵

1

2

ab=1，∴

1

2

k=1
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為 y=

2

x

．（3分）

（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
得

2

x

=

1

2

x，解得x=2或x=-2，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴x=2
把x=2代入y=

2

x

得y=1，
∴A為（2，1）（4分）
設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1）．
令直線BC的解析式為y=mx+n
∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)，
∴xy=2，
∴y=2，
∴B為（1，2），
將B和C的坐標(biāo)代入得：

2m+n=-1 m+n=2

，
解得：

m=-3 n=5

 
∴BC的解析式為y=-3x+5（6分）
當(dāng)y=0時(shí)，x=

5

3

，
∴P點(diǎn)為（

5

3

，0）．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、軸對(duì)稱等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．有點(diǎn)難度．