【題目】邊長為6的等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2.
(1)如圖1,將△DEC沿射線EC方向平移,得到△D′E′C′,邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M,邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N,當(dāng)CC′多大時(shí),四邊形MCND′為菱形?并說明理由.
(2)如圖2,將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,連接AD′、BE′.邊D′E′的中點(diǎn)為P.
①在旋轉(zhuǎn)過程中,AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;
②連接AP,當(dāng)AP最大時(shí),求AD′的值.(結(jié)果保留根號(hào))
【答案】(1) 當(dāng)CC'=時(shí),四邊形MCND'是菱形,理由見解析;(2)①AD'=BE',理由見解析;②.
【解析】
(1)先判斷出四邊形MCND'為平行四邊形,再由菱形的性質(zhì)得出CN=CM,即可求出CC';
(2)①分兩種情況,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可判斷出△ACD≌△BCE'即可得出結(jié)論;
②先判斷出點(diǎn)A,C,P三點(diǎn)共線,先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.
(1)當(dāng)CC'=時(shí),四邊形MCND'是菱形.
理由:由平移的性質(zhì)得,CD∥C'D',DE∥D'E',
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACC'=180°-∠ACB=120°,
∵CN是∠ACC'的角平分線,
∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B,
∴∠D'E'C'=∠NCC',
∴D'E'∥CN,
∴四邊形MCND'是平行四邊形,
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,
∴△MCE'和△NCC'是等邊三角形,
∴MC=CE',NC=CC',
∵E'C'=2,
∵四邊形MCND'是菱形,
∴CN=CM,
∴CC'=E'C'=;
(2)①AD'=BE',
理由:當(dāng)α≠180°時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,∠ACD'=∠BCE',
由(1)知,AC=BC,CD'=CE',
∴△ACD'≌△BCE',
∴AD'=BE',
當(dāng)α=180°時(shí),AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',
即:AD'=BE',
綜上可知:AD'=BE'.
②如圖連接CP,
在△ACP中,由三角形三邊關(guān)系得,AP<AC+CP,
∴當(dāng)點(diǎn)A,C,P三點(diǎn)共線時(shí),AP最大,
如圖1,
在△D'CE'中,由P為D'E的中點(diǎn),得AP⊥D'E',PD'=,
∴CP=3,
∴AP=6+3=9,
在Rt△APD'中,由勾股定理得,AD'=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于A(1,0),B(5,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)過C(﹣3,0)向x軸下方作CD垂直x軸,連接AD,已知CD=4,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線上時(shí),求m的值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)D第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過點(diǎn)O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識(shí),求得與的長,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個(gè)交點(diǎn)記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時(shí),直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個(gè)單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知拋物線L:y=ax2+bx﹣1.5(a>0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸為直線l:x=1.
(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解.
(2)求拋物線L的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將拋物線L平移.使它的頂點(diǎn)移至點(diǎn)P,得到新拋物線L′,L′與直線l相交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m
①當(dāng)m=5時(shí),PM與PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
②當(dāng)m為大于1的任意實(shí)數(shù)時(shí),①中的關(guān)系式還成立嗎?為什么?
③是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PMN為等邊三角形?若存在.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P為反比例函數(shù)(k>0)在第一象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作x軸,y軸的垂線交一次函數(shù)y=﹣x﹣2的圖象于點(diǎn)A、B.若∠AOB=135°,則k的值是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn),且BF=3CF,連接AE、AF、EF,下列結(jié)論:①△ADE∽△ECF,②∠DAE=∠EAF,③AE2=ADAF,④S△AEF=5S△ECF,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度,小明從旗桿正前方6米處的點(diǎn)C出發(fā),沿坡度為i=1:的斜坡CD前進(jìn)2米到達(dá)點(diǎn)D,在點(diǎn)D處放置測(cè)角儀DE,測(cè)得旗桿頂部A的仰角為30°,量得測(cè)角儀DE的高為1.5米.A、B、C、D、E在同一平面內(nèi),且旗桿和測(cè)角儀都與地面垂直.
(1)求點(diǎn)D的鉛垂高度(結(jié)果保留根號(hào));
(2)求旗桿AB的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動(dòng),誦讀材料有《論語》、《大學(xué)》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示這三個(gè)材料),將A,B,C分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗勻后放在桌面上,比賽時(shí)小禮先從中隨機(jī)抽取一張卡片,記下內(nèi)容后放回,洗勻后,再由小智從中隨機(jī)抽取一張卡片,他倆按各自抽取的內(nèi)容進(jìn)行誦讀比賽.
(1)小禮誦讀《論語》的概率是 ;(直接寫出答案)
(2)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求他倆誦讀兩個(gè)不同材料的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在四邊形ABCD中,點(diǎn)O,E,F(xiàn),G分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),連接OE,EF,F(xiàn)G,GO,GE.
(1)證明:四邊形OEFG是平行四邊形;
(2)將△OGE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OMN,如圖2所示,連接GM,EN.
①若OE=,OG=1,求的值;
②試在四邊形ABCD中添加一個(gè)條件,使GM,EN的長在旋轉(zhuǎn)過程中始終相等.(不要求證明)
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