Question

已知：如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是4，D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AD，作AD的垂直平分線分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F．
（1）求△BDE和△DCF的周長(zhǎng)和；
（2）設(shè)CD長(zhǎng)為x，△BDE的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得DE=AB，DF=AF，然后得出△BDE和△DCF的周長(zhǎng)和等于△ABC的周長(zhǎng)，從而得解；
（2）先用CD表示出BD，然后再利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得到AE=DE，所以△BDE的周長(zhǎng)等于AB+BD，整理即可；
（3）因?yàn)橹苯侨�角形的直角不明確，所以分①當(dāng)∠BED=90°時(shí)，②當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，分別用BD表示出BE、DE的長(zhǎng)度，然后利用BE+DE=AB列式求解即可．

解答：解：（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF．（1分）
∴C_△BDE+C_△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB．（1分）
∵BC=AC=AB=4，
∴C_△BDE+C_△CDF=12．（1分）

（2）∵CD=x，BC=4，
∴BD=4-x．（1分）
∵DE=AE，
∴C_△BDE=AB+BD，
即y=4+4-x=8-x，
所以，y=8-x．（1分）
定義域?yàn)?＜x＜4．（1分）

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°．
①當(dāng)∠BED=90°時(shí)，∠BDE=30°，
∴BE=

1

2

BD=

1

2

（4-x），DE=

3

2

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴

1

2

（4-x）+

3

2

（4-x）=4，
解得x=8-4

3

．（1分）
②當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（4-x），DE=

3

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴2（4-x）+

3

（4-x）=4，
解得x=4

3

-4．（1分）
綜上所述，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為8-4

3

或4

3

-4．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，有一定綜合性，（3）注意要分情況討論，避免漏解．