Question

如圖所示的拋物線是y=-

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2

x2的圖象經(jīng)平移而得到的，此時(shí)拋物線過點(diǎn)A（1，0）和x軸上點(diǎn)A右側(cè)的點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)∠APB=90°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）求上述拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在0＜x≤7時(shí)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-h）²+t，那么拋物線的頂點(diǎn)P為（h，t）．由于△AMP是等腰直角三角形，如果過P作x軸的垂線不難得出t=h-1，那么拋物線的解析式可寫成：y=-

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2

（x-h）²+h-1，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出h和t的值，進(jìn)而可求出P點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的解析式．
（2）可根據(jù)（1）的二次函數(shù)解析式和自變量的取值范圍求出函數(shù)的最大和最小值．

解答：解：（1）過P作PC⊥AB于C，設(shè)平移后拋物線的解析式為y=-

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2

（x-h）²+t，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（h，t）．
在直角三角形PAC中，∠PAB=45°，
因此PC=AC，即t=h-1．
由于拋物線過A點(diǎn)，則有：

t=h-1 0=- 1 2 (1-h)2+h-1

解得：

h=3 t=2

，

h=1 t=0

（不合題意舍去）
因此拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-3）²+2．

（2）根據(jù)（1）的二次函數(shù)關(guān)系式可知：
當(dāng)x=3時(shí)，y_max=2
當(dāng)x=7時(shí)，y_min=-6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及函數(shù)解析式的確定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．弄清二次函數(shù)圖象平移前后解析式的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．