(2009•衢州)如圖,四邊形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等邊三角形,且點(diǎn)P在矩形上方,點(diǎn)Q在矩形內(nèi).
求證:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;
(2)PA=PQ.

【答案】分析:(1)∠根據(jù)矩形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可證明得到∠PBA=∠PCQ=30°.
(2)由第一步求得∠PBA=∠PCQ.由等邊三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得到AB=CQ,PB=PC,利用SAS判定△PAB≌△PQC,從而得到PA=PQ.
解答:證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠BCD=90°.(1分)
∵△PBC和△QCD是等邊三角形.
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°.(1分)
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°,(1分)
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°.
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°.
∴∠PBA=∠PCQ=30°.(1分)

(2)∵AB=DC=QC,∠PBA=∠PCQ,PB=PC.(1分)
∴△PAB≌△PQC.(2分)
∴PA=PQ.(1分)
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生對(duì)矩形的性質(zhì),全等三角形的判定及等邊三角形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用.
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(2009•衢州)如圖,已知點(diǎn)A(-4,8)和點(diǎn)B(2,n)在拋物線y=ax2上.
(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo),并在x軸上找一點(diǎn)Q,使得AQ+QB最短,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)平移拋物線y=ax2,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)D(-4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),A′C+CB′最短,求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;
②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí),是否存在某個(gè)位置,使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短?若存在,求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo),并在x軸上找一點(diǎn)Q,使得AQ+QB最短,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)平移拋物線y=ax2,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)D(-4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),A′C+CB′最短,求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;
②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí),是否存在某個(gè)位置,使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短?若存在,求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2)平移拋物線y=ax2,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)D(-4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),A′C+CB′最短,求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;
②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí),是否存在某個(gè)位置,使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短?若存在,求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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