(2009•衢州)如圖,已知點A(-4,8)和點B(2,n)在拋物線y=ax2上.
(1)求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標,并在x軸上找一點Q,使得AQ+QB最短,求出點Q的坐標;
(2)平移拋物線y=ax2,記平移后點A的對應點為A′,點B的對應點為B′,點C(-2,0)和點D(-4,0)是x軸上的兩個定點.
①當拋物線向左平移到某個位置時,A′C+CB′最短,求此時拋物線的函數(shù)解析式;
②當拋物線向左或向右平移時,是否存在某個位置,使四邊形A′B′CD的周長最短?若存在,求出此時拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)把(-4,8)代入y=ax2可求得a的值,把x=2代入所求的拋物線解析式,可得n的值,那么P的坐標為2,縱坐標為-n,求得AP與x軸的交點即為Q的坐標;
(2)A′C+CB′最短,說明拋物線向左平移了線段CQ的距離,用頂點式設出相應的函數(shù)解析式,把新頂點坐標代入即可;
(3)左右平移時,使A′D+DB′′最短即可,那么作出點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′,得到直線A′′B′′的解析式,讓y=0,求得相應的點的坐標;進而得到拋物線頂點平移的規(guī)律,用頂點式設出相應的函數(shù)解析式,把新頂點坐標代入即可.
解答:
解:(1)將點A(-4,8)的坐標代入y=ax2,
解得a=
將點B(2,n)的坐標代入y=x2
求得點B的坐標為(2,2),
則點B關于x軸對稱點P的坐標為(2,-2),
設直線AP的解析式為y=kx+b,
,
解得:
∴直線AP的解析式是y=-x+,
令y=0,得x=
即所求點Q的坐標是(,0);

(2)①CQ=|-2-|=,(1分)
故將拋物線y=x2向左平移個單位時,A′C+CB′最短,

此時拋物線的函數(shù)解析式為y=(x+2
②左右平移拋物線y=x2,因為線段A′B′和CD的長是定值,
所以要使四邊形A′B′CD的周長最短,只要使A′D+CB′最短;(1分)

第一種情況:如果將拋物線向右平移,顯然有A′D+CB′>AD+CB,
因此不存在某個位置,使四邊形A′B′CD的周長最短;
第二種情況:設拋物線向左平移了b個單位,
則點A′和點B′的坐標分別為A′(-4-b,8)和B′(2-b,2).
因為CD=2,因此將點B′向左平移2個單位得B′′(-b,2),
要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短,
點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′(-4-b,-8),
直線A′′B′′的解析式為y=x+b+2.
要使A′D+DB′′最短,點D應在直線A′′B′′上,
將點D(-4,0)代入直線A′′B′′的解析式,解得b=
故將拋物線向左平移時,存在某個位置,使四邊形A′B′CD的周長最短,
此時拋物線的函數(shù)解析式為y=(x+2
點評:用到的知識點為:兩點關于x軸對稱,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù);拋物線平移,不改變二次項的系數(shù),看頂點是如何平移的即可;涉及距離之和最小問題,應從作其中一點關于直線的對稱點入手思考.
練習冊系列答案
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①當拋物線向左平移到某個位置時,A′C+CB′最短,求此時拋物線的函數(shù)解析式;
②當拋物線向左或向右平移時,是否存在某個位置,使四邊形A′B′CD的周長最短?若存在,求出此時拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請說明理由.

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