Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程：x²-2mx+m²-4=0．
（1）求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)拋物線y=x²-2mx+m²-4與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等時(shí)，求此拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分保持能夠不變，得到圖形C₁，將圖形C₁向右平移一個(gè)單位，得到圖形C₂，當(dāng)直線y=x+b（b＜1）與圖形C₂恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍．

Answer 1

（1）證明∵△=（-2m）²-4（m²-4）=16＞0．
∴該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）由題意可知y軸是拋物線的對(duì)稱軸，
故-2m=0，
解得m=0．
∴此拋物線的解析式為y=x²-4．

（3）如圖，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A（-1，0）時(shí)-1+b=0，可得b=1，又因?yàn)閎＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時(shí)，3+b=0，則b=-3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為-3＜b＜1時(shí)，直線y=x+b；（b＜3）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)要證方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證出△=b²-4ac＞0，即可得出答案；
（2）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性得出對(duì)稱軸是y軸，進(jìn)而得出m的值即可；
（3）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動(dòng)的范圍，求出b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式以及二次函數(shù)的對(duì)稱性和由函數(shù)圖象確定坐標(biāo)、直線與圖象的交點(diǎn)問題，綜合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．