Question

⊙O的半徑為1，弦AB=，弦AC=，則∠CAB的度數為（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．15°或75°

Answer 1

【答案】分析：首先根據題意畫出圖形，注意分為弦AB與弦AC在圓心的同側與異側，然后連接OA，OB，過點O作OD⊥AC于D，由垂徑定理，可求得AD的長，然后由勾股定理的逆定理，可判定△AOB是等腰直角三角形，則可求得∠BAO的度數，由三角函數可求得∠OAD的度數，繼而求得答案．
解答：解：如圖1，連接OA，OB，過點O作OD⊥AC于D，
∵⊙O的半徑為1，弦AB=，弦AC=，
∴OA=OB=1，AD=AC=，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD==，
∴∠OAD=30°，
∴∠BAC=∠BAO+∠OAD=75°；
如圖2，連接OA，OB，過點O作OD⊥AC于D，
∵⊙O的半徑為1，弦AB=，弦AC=，
∴OA=OB=1，AD=AC=，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD==，
∴∠OAD=30°，
∴∠BAC=∠BAO-∠OAD=15°．
∴∠CAB的度數為：75°或15°．
故選D．
點評：此題考查了垂徑定理、勾股定理的逆定理以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．