Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x²+（m-1）x+4m的圖象與x軸負(fù)半軸交于點A，與y軸交于點B（0，4），已知點E（0，1）．
（1）求m的值及點A的坐標(biāo)；
（2）如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結(jié)A′B、BE′．
①當(dāng)點E′落在該二次函數(shù)的圖象上時，求AA′的長；
②設(shè)AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值時點E′的坐標(biāo)；
③當(dāng)A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線與y軸交于點B（0，4），進而代入求出m的值即可；
（2）①點E（0，1），由題意可知，-x²+4=1，即可得出x的值，進而得出AA′的長；
②連接EE′，利用勾股定理得出當(dāng)n=1時，A′B²+BE′²可以取得最小值；
③首先證明△AB′A′≌△EBE′（SAS），進而得出當(dāng)點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值，利用△AB′A′∽△OBA′，
得出EE′=AA′的值，進而得出點E′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意可知：4m=4，
解得：m=1．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+4，
當(dāng)y=0時，0=-x²+4，
解得：x₁=2，x₂=-2，
∴點A的坐標(biāo)為（-2，0）．   

（2）①∵點E（0，1），由題意可知，-x²+4=1．
解得：x=±

3

．
∴AA′=

3

；
           
②如圖，連接EE′．
由題設(shè)知AA′=n（0＜n＜2），則A′O=2-n．
在Rt△A′BO中，由A′B²=A′O²+BO²，
得A′B²=（2-n）²+4²=n²-4n+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=n．
又BE=OB-OE=3．
∴在Rt△BE′E中，BE′²=E′E²+BE²=n²+9，
∴A′B²+BE′²=2n²-4n+29=2（n-1）²+27．
當(dāng)n=1時，A′B²+BE′²可以取得最小值，此時點E′的坐標(biāo)是（1，1）；

③如圖，過點A作AB′⊥x軸，并使AB′=BE=3，
在△BEE′和△B′AA′中，

BE=AB′ ∠BEE′=∠B′AA′ EE′=AA′

，
∴△AB′A′≌△EBE′（SAS），
∴B′A′=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
當(dāng)點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．
此時點B，A′，B′在同一條直線上，
∴∠AA′B′=∠BA′O，∠B′AA′=∠BOA′，
∴△AB′A′∽△OBA′，
∴

AA′

A′O

=

AB′

OB

=

3

4

，
∴AA′=

3

7

×2=

6

7

，
∴EE′=AA′=

6

7

，
∴點E′的坐標(biāo)是（

6

7

，1）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理、線段最小值問題等知識，得出當(dāng)點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小是解題關(guān)鍵．