【題目】如圖所示,已知AB是的直徑,直線L與相切于點C,,CD交AB于E,直線L,垂足為F,BF交于C.
圖中哪條線段與AE相等?試證明你的結(jié)論;
若,,求AB的值.
【答案】(1)見解析;(2)20.
【解析】
(1)觀察圖象知:只有FG的長度與AE相當(dāng),可猜想AE=FG,然后著手證明它們相等;求簡單的線段相等,通常是證線段所在的三角形全等,那么本題需要構(gòu)造全等三角形,連接AC、CG,然后證△AEC≌△GCF;連接BD,由于弧AC=弧AD,那么BA⊥CD,根據(jù)垂徑定理知∠D=∠BCE;由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB,那么它們的余角也相等,即∠FBC=∠EBC,那么弧CG=弧AC,即AC=CG,再由角平分線的性質(zhì)得CF=CE,根據(jù)HL即可判定所求的兩個三角形全等,由此得證.
(2)由弦切角定理知∠FCG=∠FBC,它們的正弦值也相等,即可在Rt△FCG中,求得CG的長,也就得到了AC的長,在Rt△ACB中,CE⊥AB,由射影定理即可得到AB的長.
解:(1)FG=AE,理由如下:
連接CG、AC、BD;
∵,
∴BA⊥CD,
∴ ,即∠D=∠BCD;
∵直線L切⊙O于C,
∴∠BCF=∠D=∠BCD,
∴∠FBC=∠ABC,
∴,CE=CF;
∴AC=CG;
△ACE和△GCF中,AC=CG、CE=CF,∠AEC=∠CFG=90°,
∴Rt△AEC≌Rt△GCF,則AE=FG.
(2)∵FC切⊙O于C,
∴∠FCG=∠FBC,即sin∠FCG=sin∠CBF=;
在Rt△FCG中,FG=AE=4,CG=FG÷sin∠FCG=4;
∴AC=CG=4;
在Rt△ABC中,CE⊥AB,由射影定理得:
AC2=AEAB,即AB=AC2÷AE=20.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】放風(fēng)箏是大家喜愛的一種運動,星期天的上午小明在市政府廣場上放風(fēng)箏.如圖,他在A處不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹梢上,風(fēng)箏固定在了D處,此時風(fēng)箏AD與水平線的夾角為30°,為了便于觀察,小明迅速向前邊移動,收線到達(dá)了離A處10米的B處,此時風(fēng)箏線BD與水平線的夾角為45°.已知點A,B,C在同一條水平直線上,請你求出小明此時所收回的風(fēng)箏線的長度是多少米?(風(fēng)箏線AD,BD均為線段, ≈1.414, ≈1.732,最后結(jié)果精確到1米).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知中,,把繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,連接BD,CE交于點F.
求證:≌;
若,,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料.
點M,N在數(shù)軸上分別表示數(shù)m和n,我們把m,n之差的絕對值叫做點M,N之間的距離,即MN=|m﹣n|.如圖,在數(shù)軸上,點A,B,O,C,D的位置如圖所示,則DC=|3﹣1|=|2|=2;CO=|1﹣0|=|1|=1;BC=|(﹣2)﹣1|=|﹣3|=3;AB=|(﹣4)﹣(﹣2)|=|﹣2|=2.
(1)OA= ,BD= ;
(2)|1﹣(﹣4)|表示哪兩點的距離?
(3)點P為數(shù)軸上一點,其表示的數(shù)為x,用含有x的式子表示BP= ,當(dāng)BP=4時,x= ;當(dāng)|x﹣3|+|x+2|的值最小時,x的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE,過A作AE的垂線交ED于點P,若AE=AP=1,PB=,下列結(jié)論:①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③PD=,其中正確結(jié)論的序號是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=2x+3與x軸相交于點A,與y軸相交于點B.
(1)求A,B兩點的坐標(biāo);
(2)過B點作直線BP與x軸相交于P,且使OP=2OA, 求直線BP的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+3x+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,8),直線l經(jīng)過原點O,與拋物線的一個交點為D(6,8).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸與直線l交于點E,點T為x軸上方的拋物線上的一個動點.
①當(dāng)∠TEC=∠TEO時,求點T的坐標(biāo);
②直線BT與y軸交于點P,與直線l交于點Q,當(dāng)OP=OQ時,求點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l1:y=mx(m≠0) 與直線l2:y=ax+b(a≠0) 相交于點 A(1,2),直線l2與 x軸交于點B(3,0).
(1)分別求直線l1 和l2的表達(dá)式;
(2)過動點P(0,n)且平行于x軸的直線與l1 ,l2的交點分別為C ,D,當(dāng)點 C 位于點 D 左方時,寫出 n的取值范圍.
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