Question

P、Q、R、S四個(gè)小球分別從正方形ABCD的四個(gè)定點(diǎn)A、B、C、D點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB、BC、CD、DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B、C、D、A。

（1）不管滾動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，求證：四邊形PQRS為正方形；
（2）連結(jié)對(duì)角線AC、BD、PR、SQ，你發(fā)現(xiàn)四條對(duì)角線有何關(guān)系？
（3）根據(jù)此圖，若有四個(gè)全等的直角三角形，你能否拼成一個(gè)正方形？若這個(gè)三角形直角邊為a、b，斜邊問(wèn)c，你能否根據(jù)面積推導(dǎo)出勾股定理？

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）四條對(duì)角線相交于一點(diǎn)，且互相平分（3）能拼成一個(gè)正方形，見(jiàn)解析

（1）四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P、Q、E、F分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣速度向B、C、D、A移動(dòng)可得AP=BQ=CF=DS，PB=QC=FD=SA．
可得△APS≌△BQP≌△CFQ≌△DFS，
得PQ=QF=FS=SP．
∠SPA=∠PQB．
又∠PQB+∠QPB=90°，
所以∠FPA+∠QPB=90°，∠FPQ=90°．
所以PQEF為正方形．（3分）
（2）四條對(duì)角線相交于一點(diǎn)，且互相平分．（1分）
（3）能拼成一個(gè)正方形．用面積的方法來(lái)證明
直角邊分別是a，b．斜邊是c，
整個(gè)大正方形的面積應(yīng)該是（a+b）²
而一個(gè)一個(gè)進(jìn)行分解計(jì)算，4個(gè)小三角形的面積是4×ab=2ab．
中間的正方形面積是c²
則（a+b）²=2ab+c²，分解開(kāi)就可以得到a²+b²=c²．（4分）
（1）可先證明△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE，得PQ=QE=EF=FP；再證∠FPQ=90°；
（2）用面積的方法來(lái)證明，拼出的大正方形的面積，既可以用正方形面積公式求得，也可以用中間四個(gè)小三角形和小正方形的面積和來(lái)表示，列出相等關(guān)系，即可求證．