如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)O在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動，QD⊥OC交BC于點(diǎn)D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發(fā)，運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，PB∥OD？

解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)y=ax2+2。
∵點(diǎn)C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：。
∴拋物線的解析式為；。
（2）若要四邊形OEAE′是菱形，則只要AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經(jīng)過AO的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得：，
解得：。
∵點(diǎn)E在第一象限，∴點(diǎn)E為（，1）。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得。
∴BC的解析式為：。
設(shè)直線EO的解析式為y=ax，將E點(diǎn)代入，可得出EO的解析式為：。
由，得：，
∴直線EO和直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）。
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）。
∴當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）時，四邊形OEAE′是菱形。
（3）設(shè)t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO。
∴。
由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，
又∵點(diǎn)D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m。
∴，解得：。
經(jīng)檢驗：是原分式方程的解。
∴當(dāng)t=秒時，PB∥OD。

解析

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線（b，c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．

（1）b＝　 　 ，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為　 　 （上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；
（2）連接BC，過點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線交于點(diǎn)E．點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為
(2，0)，當(dāng)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．
①求S的取值范圍；
②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有　 　 個．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，連接OD、BD、△BOD的外心I在中線BF上，BF與AD交于點(diǎn)E．

（1）求證：△OAD≌△EAB；
（2）求過點(diǎn)O、E、B的拋物線所表示的二次函數(shù)解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，其關(guān)于直線BF的對稱點(diǎn)在x軸上？若有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）連接OE，若點(diǎn)M是直線BF上的一動點(diǎn)，且△BMD與△OED相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知二次函數(shù)（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（坐標(biāo)用m表示）；
（2）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，求二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)以AB為直徑的⊙M與y軸交于C、D兩點(diǎn)，求CD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）取點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），直線l經(jīng)過E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BD的中點(diǎn)．
①點(diǎn)G是否在直線l上，請說明理由；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線的圖象過C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當(dāng)l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知：如圖①，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，兩動點(diǎn)D、E分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動（運(yùn)動到O點(diǎn)停止）；對稱軸過點(diǎn)A且頂點(diǎn)為M的拋物線（a＜0）始終經(jīng)過點(diǎn)E，過E作EG∥OA交拋物線于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DE、DF、AG、BG．設(shè)D、E的運(yùn)動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，運(yùn)動時間為t秒．

（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形ADEF是菱形？判斷此時△AFG與△AGB是否相似，并說明理由；
（3）當(dāng)△ADF是直角三角形，且拋物線的頂點(diǎn)M恰好在BG上時，求拋物線的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)A（0，4），B（2，0）．

（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）已知點(diǎn)M是線段AB上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），以M為頂點(diǎn)的拋物線y=（x﹣m）2+n與線段OA交于點(diǎn)C．
①求線段AC的長；（用含m的式子表示）
②是否存在某一時刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時m的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的對稱軸是直線x=2．

（1）求出該拋物線的解析式．
（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：
①將三角板從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止旋轉(zhuǎn)．請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值．
②設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由．

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