Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D（﹣1，﹣4），與y軸交于點C（0，﹣3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；
（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得 ，

解得：b=2，c=﹣3，

則解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）

解：由題意結合圖形

則解析式為：y=x2+2x﹣3，

解得x=1或x=﹣3，

由題意點A（﹣3，0），

∴AC= ，CD= ，AD= ，

由AC2+CD2=AD2，

所以△ACD為直角三角形

（3）

解：∵A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵點E在拋物線的對稱軸上，

∴點E的橫坐標為﹣1，

當AB為平行四邊形的一邊時，EF=AB=4，

∴F的橫坐標為3或﹣5，

把x=3或﹣5分別代入y=x2+2x﹣3，得到F的坐標為（3，12）或（﹣5，12）；

當AB為平行四邊形的對角線時，由平行四邊形的對角線互相平分，

∴F點必在對稱軸上，即F點與D點重合，

∴F（﹣1，﹣4）．

∴所有滿足條件的點F的坐標為（3，12），（﹣5，12），（﹣1，﹣4）．

【解析】（1）由定點列式計算，從而得到b，c的值而得解析式；（2）由解析式求解得到點A，得到AC，CD，AD的長度，而求證；（3）由（2）得到的結論，進行代入，要使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是AB平行且等于EF，那么只需將E點的坐標向左或向右平移AB長個單位即可得出F點的坐標，然后將得出的F點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的F點．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關知識，掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．