Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，﹣4），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；
（3）若點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得 ，

解得：b=2，c=﹣3，

則解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）

解：由題意結(jié)合圖形

則解析式為：y=x2+2x﹣3，

解得x=1或x=﹣3，

由題意點(diǎn)A（﹣3，0），

∴AC= ，CD= ，AD= ，

由AC2+CD2=AD2，

所以△ACD為直角三角形

（3）

解：∵A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣1，

當(dāng)AB為平行四邊形的一邊時(shí)，EF=AB=4，

∴F的橫坐標(biāo)為3或﹣5，

把x=3或﹣5分別代入y=x2+2x﹣3，得到F的坐標(biāo)為（3，12）或（﹣5，12）；

當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時(shí)，由平行四邊形的對角線互相平分，

∴F點(diǎn)必在對稱軸上，即F點(diǎn)與D點(diǎn)重合，

∴F（﹣1，﹣4）．

∴所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，12），（﹣5，12），（﹣1，﹣4）．

【解析】（1）由定點(diǎn)列式計(jì)算，從而得到b，c的值而得解析式；（2）由解析式求解得到點(diǎn)A，得到AC，CD，AD的長度，而求證；（3）由（2）得到的結(jié)論，進(jìn)行代入，要使以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是AB平行且等于EF，那么只需將E點(diǎn)的坐標(biāo)向左或向右平移AB長個(gè)單位即可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將得出的F點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的F點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．