Question

【題目】如圖，G 為 BC 的中點(diǎn)，且 DG⊥BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， BE＝CF．

（1）求證：AD 是∠BAC 的平分線；

（2）如果 AB＝8，AC＝6，求 AE 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）7.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>G為BC的中點(diǎn)，且DG⊥BC，則DG是線段BC的垂直平分線，考慮連接DB、DC，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，又因?yàn)?/span>DE⊥AB，DF⊥AC，可通過(guò)DE=DF說(shuō)明AD是∠BAC的平分線；

（2）先通過(guò)△AED與△ADF的全等關(guān)系，說(shuō)明AE與AF的關(guān)系，利用線段的和差關(guān)系，通過(guò)線段的加減求出AE的長(zhǎng)．

（1）連接BD、DC

∵DG⊥BC，G為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∵DG⊥BC，DE⊥AB

∴∠BED=∠CFD，

在Rt△DBE和Rt△DFC中，

∴△DBE≌△DFC

∴DE=DF，

∴∠BAD=∠FAD

∴AD是∠BAC的平分線；

（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD

∴△AED≌△ADF，

∴AE=AF

∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，

∴AB+AC=AE+AF，

∵AB=8，AC=6，

∴8+6=2AE，

∴AE=7．