Question

18．如圖，過△ABC的頂點C作這個三角形的外接圓的切線l，AP和BQ即是△ABC的兩條高，QQ₁⊥l，PP₁⊥l，求證：QQ₁=PP₁．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建四邊形QPP₁Q₁和直徑，只要證明四邊形QPP₁Q₁為矩形就可以得出結(jié)論，由圖形和已知發(fā)現(xiàn)四邊形QPP₁Q₁有兩個角是直角，只要再證明一個直角即可，所以本題的重點是證明∠QPP₁=90°即可．

解答 證明：連接CO，并延長交⊙O于E，連接BE、PQ，
∵AP和BQ是△ABC的兩條高，
∴AP⊥BC，BQ⊥AC，
∴∠APB=∠AQB=90°，
∴A、B、P、Q四點共圓，
∴∠QPC=∠CAB，
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠QPC，
∵l是⊙O的切線，
∴EC⊥l，
∵PP₁⊥l，
∴PP₁∥EC，
∴∠ECB=∠CPP₁，
∵EC為⊙O的直徑，
∴∠EBC=90°，
∴∠E+∠ECB=90°，
∴∠QPC+∠CPP₁=90°，
即∠QPP₁=90°，
∵QQ₁⊥l，PP₁⊥l，
∴∠QQ₁C=∠PP₁C=90°，
∴四邊形QPP₁Q₁為矩形，
∴QQ₁=PP₁．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、矩形的性質(zhì)和判定以及四點共圓的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是證明∠QPP₁=90°即可；要熟練掌握矩形的判定和四點共圓的判定．