【題目】若一次函數(shù)ykx+m的圖象經(jīng)過二次函數(shù)yax2+bx+c的頂點,我們則稱這兩個函數(shù)為丘比特函數(shù)組

1)請判斷一次函數(shù)y=﹣3x+5和二次函數(shù)yx24x+5是否為丘比特函數(shù)組,并說明理由.

2)若一次函數(shù)yx+2和二次函數(shù)yax2+bx+c丘比特函數(shù)組,已知二次函數(shù)yax2+bx+c頂點在二次函數(shù)y2x23x4圖象上并且二次函數(shù)yax2+bx+c經(jīng)過一次函數(shù)yx+2y軸的交點,求二次函數(shù)yax2+bx+c的解析式;

3)當(dāng)﹣3≤x≤1時,二次函數(shù)yx22x4的最小值為a,若丘比特函數(shù)組中的一次函數(shù)y2x+3和二次函數(shù)yax2+bx+cb、c為參數(shù))相交于PQ兩點請問PQ的長度為定值嗎?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

【答案】1)不是,見解析;(2)拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+2x+2yx2+2x+2;(32,為定值,見解析

【解析】

1y=x2-4x+5=(x-2)2+1,即頂點坐標(biāo)為(21),當(dāng)x=2時,y=-3x+5=-1≠1,即可求解;

2)根據(jù)題意可設(shè)頂點坐標(biāo)為(m,m+2),將頂點坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=2x2-3x-4得:m+2=2m2-3m-4,解得:m=3-1,即可求解;

3)根據(jù)函數(shù)與x軸交點判斷出:當(dāng)-3≤x≤-1時,函數(shù)在x=-1時取得最小值,即a=1+2-4=-1,設(shè)拋物線的頂點為P(m,2m+3),丘比特函數(shù)組另外一個交點為Q(x,2x+3),則拋物線的表達(dá)式為:y=a(x-m)2+(2m+3)=-(x-m)2+(2m+3),把Q代入得:-(x-m)2+(2m+3)=2x+3,進(jìn)行整理,再由韋達(dá)定理得:x+m=2m-2,解得:x=m-2,故點Qm-22m-1),即可求解.

解:(1yx24x+5(x2)2+1,即頂點坐標(biāo)為(2,1),

當(dāng)x2時,y=﹣3x+5-1≠1,

故一次函數(shù)y=﹣3x+5和二次函數(shù)yx24x+5不是丘比特函數(shù)組

2)設(shè)二次函數(shù)的頂點為:(m,m+2),

將頂點坐標(biāo)代入二次函數(shù)y2x23x4得:m+22m23m4

解得:m3或﹣1

當(dāng)m3時,函數(shù)頂點為(35) 則二次函數(shù)表達(dá)式為:ya(x3)2+5,

又∵一次函數(shù)yx+2y軸的交點為:(02),

∴把(0,2)代入得:9a+52,解得:a,

故拋物線的表達(dá)式為:yx2+2x+2;

同理當(dāng)m=﹣1時,拋物線的表達(dá)式為:yx2+2x+2,

綜上,拋物線的表達(dá)式為:yx2+2x+2yx2+2x+2;

3)是定值,理由:

yx22x40,則x,

故當(dāng)﹣3≤x1時,函數(shù)在x=﹣1時取得最小值,

a1+24=﹣1,

設(shè)拋物線的頂點為P(m,2m+3),丘比特函數(shù)組另外一個交點為Q(x,2x+3)

則拋物線的表達(dá)式為:ya(xm)2+(2m+3)=﹣(xm)2+(2m+3),

Q代入得:﹣(xm)2+(2m+3)2x+3,

整理得:x2+(22m)x+(m22m)0,

由韋達(dá)定理得:x+m2m2,解得:xm2,故點Q(m2,2m1),

PQ2,為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,平行四邊形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點,頂點A,C在反比例函數(shù)y= 的圖象上,點A的橫坐標(biāo)為4,點B的橫坐標(biāo)為6,且平行四邊形OABC的面積為9,則k的值為_____

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A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D.

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【題目】如圖,已知:AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,CD是⊙O的切線,ADCD于點D.EAB延長線上一點,CE交⊙O于點F,連結(jié)OCAC.

(1)求證AC平分∠DAO

(2)若∠DAO=105°,E=30°.①求∠OCE的度數(shù).②若⊙O的半徑為,求線段EF的長.

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【題目】拋物線上部分點的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表:

x

-2

-1

0

1

2

y

0

-4

-4

0

8

1)試確定該拋物線的對稱軸及當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值;

2)試確定拋物線的解析式.

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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是過點A的直線,BDDE于點D, CEDE 于點 E.

1)若BCDE的同側(cè)(如圖所示),且AD=CE,求證:

2)若BC在的兩側(cè)(如圖所示 ),其他條件不變,ABAC仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是,請說明理由.

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【題目】如圖,在一次軍事演習(xí)中,藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退,紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實施攔截,紅方行駛1000米到達(dá)C處后,因前方無法通行,紅方?jīng)Q定調(diào)整方向,再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離,剛好在D處成功攔截藍(lán)方,求攔截點D處到公路的距離(結(jié)果不取近似值).

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1)用含的代數(shù)式表示的長度;

2)若點、的運動速度相等,經(jīng)過1秒后,是否全等,請說明理由;

3)若點的運動速度不相等,當(dāng)點的運動速度為多少時,能夠使全等?

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【題目】如圖,已知DE是直角梯形ABCD的高,將ADE沿DE翻折,腰AD恰好經(jīng)過腰BC的中點,則AE:BE等于( )

A.2:1 B.1:2 C.3:2 D.2:3

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