Question

【題目】已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延長線與射線OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合)，AB＝20，cos ∠AOC＝.設(shè)OP＝x，△CPF的面積為y.

(1)求證：AP＝OQ；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)當(dāng)△OPE是直角三角形時(shí)，求線段OP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y＝，x的取值范圍為 <x<10；（3）線段OP的長為8.

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得出∠AOC＝∠ODC，再利用邊角邊的判斷定理可證明△AOP≌△ODQ，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明AP＝OQ.

（2）過點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G.根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可證明△PFC∽△PAO，利用三角函數(shù)的計(jì)算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面積，再利用相似三角形面積之比等于相似比的平方即可用x表示出y，分別取點(diǎn)F與點(diǎn)D和點(diǎn)C重合時(shí)，利用垂徑定理和相似三角形的性質(zhì)可求出x的值，因?yàn)辄c(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合，即可得出X的取值范圍。

（3）根據(jù)題意可知，當(dāng)△POE為直角三角形時(shí)，可分三種情況討論：即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°，分別討論三種情況OP的長，并取符合（2）中x的取值范圍的結(jié)果。

(1)證明：連結(jié)OD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC.

∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD，

∴∠AOC＝∠ODC.

在△AOP和△ODQ中，

∴△AOP≌△ODQ，

∴AP＝OQ.

(2)作PH⊥OA，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G.

由cos∠AOC=可得OH＝x，

再RT△OPH中，由勾股定理可得：PH=，

則S△AOP＝=3x.

∵CD∥AB，

∴△PFC∽△PAO，

∴，

∴=.

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，OP＝10.

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，

∵cos∠OCG＝＝cos∠AOC＝，

∴CG＝8，

∴CD＝16.

∵，

∴

解得x＝.

又∵點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合，

∴x的取值范圍為<x<10.

(3)解：當(dāng)∠POE＝90°時(shí)，CQ＝，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；

當(dāng)∠OPE＝90°時(shí)，則∠APO＝90°，

∴OP＝AO·cos∠COA＝8；

當(dāng)∠OEP＝90°時(shí)，此種情況不存在．

∴線段OP的長為8.