Question

（2012•常德）如圖，已知二次函數(shù)y=

1

48

(x+2)(ax+b)的圖象過點A（-4，3），B（4，4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式：
（2）求證：△ACB是直角三角形；
（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A及點B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出a、b的值，繼而可得出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出點C的坐標(biāo)，然后分別求出AC、AB、BC的長度，利用勾股定理的逆定理證明即可；
（3）分兩種情況進行討論，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分別利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過點A（-4，3），B（4，4），
故可得：

3= 1 48 (-4+2)(-4a+b) 4= 1 48 (4+2)(4a+b)

，
解得：

a=13 b=-20

，
故二次函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

48

（x+2）（13x-20）．

（2）由（1）所求函數(shù)關(guān)系式可得點C坐標(biāo)為（-2，0），點D坐標(biāo)為（

20

13

，0），
又∵點A（-4，3），B（4，4），
∴AB=

(4+4)2+(4-3)2

=

65

，AC=

(-2+4)2+(0-3)2

=

13

，BC=

(4+2)2+(4-0)2

=

52

，
∵滿足AB²=AC²+BC²，
∴△ACB是直角三角形．

（3）存在點P的坐標(biāo)，點P的坐標(biāo)為（-

50

13

，

35

13

）或（-

122

13

，

284

13

）．
設(shè)點P坐標(biāo)為（x，

1

48

（x+2）（13x-20）），則PH=

1

48

（x+2）（13x-20），HD=-x+

20

13

，
①若△DHP∽△BCA，則

PH

AC

=

DH

BC

，即

1 48 (x+2)(13x-20)

13

=

-x+ 20 13

52

，
解得：x=-

50

13

或x=

20

13

（因為點P在第二象限，故舍去）；
代入可得PH=

35

13

，即P₁坐標(biāo)為（-

50

13

，

35

13

）；
②若△PHD∽△BCA，則

PH

BC

=

HD

AC

，即

1 48 (x+2)(13x-20)

52

=

-x+ 20 13

13

，
解得：x=-

122

13

或x=

20

13

（因為點P在第二象限，故舍去）．
代入可得PH=

284

13

，即P₂坐標(biāo)為：（-

122

13

，

284

13

）．
綜上所述，滿足條件的點P有兩個，即P₁（-

50

13

，

35

13

）、P₂（-

122

13

，

284

13

）．

點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，同時還讓學(xué)生探究存在性問題，本題的第三問計算量比較大，同學(xué)們要注意細(xì)心求解．