Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，經(jīng)過點(diǎn)C的⊙O與△ABC的每條邊都相交．⊙O與AC邊的另一個(gè)公共點(diǎn)為D，與BC邊的另一個(gè)公共點(diǎn)為E，與AB邊的兩個(gè)公共點(diǎn)分別為F、G．設(shè)⊙O的半徑為r．

（操作感知）

（1）根據(jù)題意，僅用圓規(guī)在圖①中作出一個(gè)滿足條件的⊙O，并標(biāo)明相關(guān)字母；

（初步探究）

（2）求證：CD2+CE2＝4r2；

（3）當(dāng)r＝8時(shí)，則CD2+CE2+FG2的最大值為　 　；

（深入研究）

（4）直接寫出滿足題意的r的取值范圍；對(duì)于范圍內(nèi)每一個(gè)確定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的圓心O所形成的路徑長(zhǎng)為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）48；（4）．

【解析】

（1）根據(jù)要求畫出圖形即可（如圖①所示）；

（2）如圖②中，連接．利用勾股定理即可解決問題；

（3）因?yàn)?/span>是定值，是的弦，的半徑為定值 8，所以弦心距越小則弦越長(zhǎng)，圓心在以為圓心8為半徑的圓上，當(dāng)時(shí)，到距離最短，此時(shí)最大，由此即可解決問題；

（4）首先確定的范圍．圓心距離最近時(shí)的值最大，當(dāng)半徑比較小時(shí)，在上時(shí)的值最大，當(dāng)圓心在 上，圓正好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，設(shè)，在△中，則有，解得，當(dāng)時(shí)，若還在上，則點(diǎn)在圓內(nèi)，圓不與邊相交，推出此時(shí)圓心應(yīng)該是在中垂線上，推出時(shí)，在上，時(shí)，在中垂線上，則的值最大，推出路徑如下圖折線．

（1）解：如圖①即為所求，

（2）證明：如圖②中，連接DE．

∵∠DCE＝90°，

∴DE為⊙O直徑，即DE＝2r，

∴CD2+CE2＝DE2＝4r2，

（3）解：如圖③中，

∵CD2+CE2是定值，FG是⊙O的弦，⊙O的半徑為定值 8，

∴弦心距越小則弦FG越長(zhǎng)，圓心O在以C為圓心8為半徑的圓上，

當(dāng)CO⊥AB時(shí)，O到AB距離最短，此時(shí)FG最大，

∵ ，

∴CH＝＝12，

∵OC＝8，

∴OH＝4，

OH⊥FG，

∴，

∴，

∴CD2+CE2+FG2的最大值＝．

故答案為：448．

（4）如圖④中，

當(dāng)⊙O1 與AB相切時(shí)，⊙O1的直徑最小，最小值為12，此時(shí)r＝6，

當(dāng)圓心O2在AB上時(shí)，圓直徑最大等于AB＝25，

∴，

∵圓心距離AB最近時(shí)CD2+CE2+FG2的值最大，

當(dāng)半徑比較小時(shí)，O在CH上時(shí)CD2+CE2+FG2的值最大，

當(dāng)圓心在CH 上，圓正好經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)O0A＝O0C＝r，

在Rt△AO0H中，則有r2＝（12﹣r）2+92，

解得：，

∴，

當(dāng)時(shí)，若O還在CH上，則A點(diǎn)在圓內(nèi)，圓不與AB邊相交，

∴此時(shí)圓心應(yīng)該是在AC中垂線上，

∴時(shí)，O在CH上，

時(shí)，O在AC中垂線上，則CD2+CE2+FG2的值最大，

∴O路徑如下圖折線 O1﹣O0﹣O2

∵O1H＝6，，

∴，

∵，AH＝9，

∴，

∴，

∴O點(diǎn)路徑長(zhǎng)＝．

故答案為：．