【題目】已知矩形紙片ABCD中,AB=2,BC=3.

操作:將矩形紙片沿EF折疊,使點(diǎn)B落在邊CD上.

探究:⑴如圖1,若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,你認(rèn)為全等嗎?如果全等,請給出證明,如果不全等,請說明理由;

⑵如圖2,若點(diǎn)BCD的中點(diǎn)重合,請你判斷之間的關(guān)系,如果全等,只需寫出結(jié)果,如果相似,請寫出結(jié)果和相應(yīng)的相似比;

⑶如圖2,請你探索,當(dāng)點(diǎn)B落在CD邊上何處,即的長度為多少時(shí),全等.

【答案】(1)全等,理由見解析;(2)△B1DGEA1G全等,FCB1B1DG相似,相似比為4:3;(3)當(dāng)B1C=3時(shí),FCB1B1DG全等.

【解析】

(1)由四邊形ABCD是矩形,可得∠A=B=C=ADC=90°,AB=CD,由折疊的性質(zhì)可得:∠A=A1,B=A1DF=90°,CD=A1D,然后利用同角的余角相等,可證得∠A1DE=CDF,則可利用ASA證得EDA1FDC全等;

(2)易得B1DGEA1G全等,FCB1B1DG相似,然后設(shè)FC=x,由勾股定理可得方程x2+12=(3-x)2,解此方程即可求得答案;

(3)設(shè)B1C=a,則有FC=B1D=2-a,B1F=BF=1+a,在直角FCB1中,可得(1+a)2=(2-a)2+a2,解此方程即可求得答案.

(1)全等,

證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=B=C=ADC=90,AB=CD,

由題意知:∠A=A1B=A1DF=90,CD=A1D,

∴∠A1=C=90,CDF+EDF=90,

∴∠A1DE=CDF,

EDA1FDC中,

,

EDA1FDC(ASA);

(2)B1DGEA1G全等,FCB1B1DG相似,

設(shè)FC=x,則B1F=BF=3x,B1C=DC=1,

x2+12=(3x)2,

x=,

FCB1B1DG相似,相似比為4:3.

(3)FCB1B1DG全等,

設(shè)B1C=a,則有FC=B1D=2a,B1F=BF=1+a,

在直角FCB1,可得(1+a)2=(2a)2+a2

整理得a26a+3=0,

解得:a=3 (另一解舍去),

∴當(dāng)B1C=3時(shí),FCB1B1DG全等.

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