Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)）與軸交于點(diǎn)C．

(1）如圖１，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時(shí)，求拋物線的解析式；

(2）如圖2，點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接PC，若時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

(3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F在AP上，過點(diǎn)P作PH⊥軸于H點(diǎn)，點(diǎn)K在PH的延長(zhǎng)線上，AK＝KF，∠KAH=∠FKH，PF=，連接KB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，求PQ的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）解析式為；（2）點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為6 ；

(3) QP=7

【解析】試題分析：（1）通過解方程ax2-5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面積公式求出OC得到C點(diǎn)坐標(biāo)，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2-5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點(diǎn)H，如圖2，設(shè)P（x，ax2-5ax+4a），則PD=-ax2+5ax，通過證明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)F作FG⊥PK于點(diǎn)G，如圖3，先證明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），則可得到-10a=6-1，解得a=-，再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2，接著證明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，則K（6，2），然后利用待定系數(shù)法求出直線KB的解析式為y=x-4，再通過解方程組得到Q（-1，-5），利用P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷PQ∥x軸，于是可得到QP=7．

試題解析：（1）當(dāng)y=0時(shí)，ax2-5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

∴AB=3，

∵△ABC的面積為3，

∴，解得OC=2，則C（0，-2），

把C（0，-2）代入y=ax2-5ax+4a得4a=-2，解得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x-2；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點(diǎn)H，如圖2，設(shè)P（x，ax2-5ax+4a），則PD=4a-（ax2-5ax+4a）=-ax2+5ax，

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵∠BCP=2∠ABC，

∴∠PCD=∠ABC，

∴Rt△PCD∽Rt△CO，

∴PD：OC=CD：OB，

即（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6；

（3）過點(diǎn)F作FG⊥PK于點(diǎn)G，如圖3，

∵AK=FK，

∴∠KAF=∠KFA，

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

∵∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP為等腰直角三角形，

∵P（6，10a），

∴-10a=6-1，解得a=-，

在Rt△PFG中，∵PF=4a=2，∠FPG=45°，

∴FG=PG=PF=2，

在△AKH和△KFG中

，

∴△AKH≌△KFG，

∴KH=FG=2，

∴K（6，2），

設(shè)直線KB的解析式為y=mx+n，

把K（6，2），B（4，0）代入得

，

解得，

∴直線KB的解析式為y=x-4，

當(dāng)a=-時(shí)，拋物線的解析式為y=-x2+x-2，

解方程組，

解得或，

∴Q（-1，-5），

而P（6，-5），

∴PQ∥x軸，

∴QP=7．