Question

如圖，點(diǎn)O（0，0），B（0，1）是正方形OBB₁C的兩個(gè)頂點(diǎn)，以對(duì)角線OB₁為一邊作第二個(gè)正方形OB₁B₂C₁，再以正方形OB₁B₂C₁的對(duì)角線OB₂為一邊作第三個(gè)正方形OB₂B₃C₂，…，依次下去．
（1）求n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)B₅，B₆的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OBB₁C是正方形，
∴OC=OB=CB₁．
∵O（0，0），B（0，1），
∴OB=1，
在Rt△OBB1中由勾股定理得：
OB₁=，
∴第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：；
由勾股定理可以得出：
第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2=（）²，
第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2=（）³，
第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：4=（）⁴，
…
第 n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：（）^n-1．
（2）∵正方形OBB₁C，OB=1，
∴由勾股定理，得
OB₁=，B₁在第一象限；
∴OB₂=（ ）²=2，B₂在x軸正半軸；
∴OB₃=（ ）³，B₃在第二象限；
∴OB₄=（）⁴，B₄在y軸負(fù)半軸；
∴OB₅=（）⁵，B₅在第三象限；
∴OB₆=（）⁶=8，B₆在x軸負(fù)半軸．
∴B₅（-4，-4），B₆（-8，0）．
分析：（1）直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，依次可以求出第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4，依此類推就可以求出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；
（2）再利用四邊形OBB₁C是正方形和B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出B₁（1，1），再由勾股定理就可以求出B₂（2，0），依次根據(jù)點(diǎn)B的位置變化可以求出B₃（2，-2），B₄（0，-4），B₅（-4，-4），B₆（-8，0），從而求出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，坐標(biāo)于圖形的性質(zhì)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)尋找線段長(zhǎng)度的變化規(guī)律是關(guān)鍵．