Question

整數(shù)a使得關(guān)于x，y的方程組對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)b總有實(shí)數(shù)解，求整數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：用代入法消去x，得y的方程：2y²+（3a-b）y-（b²-2a²+3b+4）=0，根據(jù)題意得△≥0，即△=（3a-b）²+4×2（b²-2a²+3b+4）≥0，整理為9b²+6b（4-a）+（32-7a²）≥0，把它看作為關(guān)于b的二次函數(shù)，并且函數(shù)值大于或等于0，再得△=36（4-a）²-4×9（32-7a²）≤0，整理得a²-a-2≤0，解得-1≤a≤2，由此求出整數(shù)a的值．
解答：解：由第一個(gè)方程得：x=2y+3a-b，然后把x代入第二個(gè)方程得關(guān)于y的方程：2y²+（3a-b）y-（b²-2a²+3b+4）=0，
則根據(jù)題意得△≥0，即△=（3a-b）²+4×2（b²-2a²+3b+4）≥0，
∴9b²+6b（4-a）+（32-7a²）≥0，由于b取每一個(gè)實(shí)數(shù)都成立，把它理解為函數(shù)z=9b²+6b（4-a）+（32-7a²）的圖象不在橫軸的下方，而開口向上，所以滿足△≤0，即△=36（4-a）²-4×9（32-7a²）≤0，整理得a²-a-2≤0，
∴（a-2）（a+1）≤0，
所以-1≤a≤2，
則整數(shù)a的值為-1，0，1，2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了運(yùn)用函數(shù)圖象和根的判別式解決不等式問(wèn)題．