Question

【題目】點(diǎn)E、F分別是□ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF＝60°，AF＝4

(1) 若AB＝2，點(diǎn)E與點(diǎn)B、點(diǎn)F與點(diǎn)D分別重合，求平行四邊形ABCD的面積

(2) 若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求證：△AEF為等邊三角形

(3) 若BE＝CE，CF＝2DF，AB＝3，直接寫出AE的長度（無需解答過程）

Answer 1

【答案】（1）4 （2）證明見解析（3）

【解析】

（1）先求出∠ABH=30°，進(jìn)而求出BH，最后用平行四邊形的面積公式即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠BAE=∠CAF，進(jìn)而判斷出△ABE≌△ACF，即可得出結(jié)論；

（3）先利用倍長中線判斷出AE=PE，PC=AB=CD=3，CF=2DF，進(jìn)而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AG、FG的長，進(jìn)而用勾股定理求出PG的長即可得出結(jié)論．

（1）如圖1，

過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，

在Rt△ABH中，∠BAD=60°，

∴∠ABH=30°，

∵AB=2，

∴AH=1，BH=，

∴S平行四邊形ABCD=ADBH=4；

（2）如圖2，連接AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵∠B=∠EAF=60°，

∴∠BAD=120°，

在ABCD中，AB=BC，

∴ABCD是菱形，

∵AC是菱形對角線，

∴∠ACD=∠BAC=60°=∠B，

∴AB=AC，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF為等邊三角形；

（3）如圖3，延長AE交DC延長線于P，過點(diǎn)F作FG⊥AP與G，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠C=∠ECP，

∵BE=CE，∠AEB=∠PEC，

∴△ABE≌△PCE，

∴AE=PE，PC=AB=CD=3，CF=2DF，

∴CF=2，

∴PF=5，

在Rt△AFG中，AF=4，∠EAF=60°，

∴∠AFG=30°

∴AG=2，F(xiàn)G=2，

在Rt△PFG中，PF=5，F(xiàn)G=2，∴PG=，

∴AP=AG+PG=2+，

∴AE=PE=AP=.